Задача об определении надежности электрической цепи. 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Задача об определении надежности электрической цепи.



Здесь мы рассмотрим пример вероятностной модели (основные понятия теории вероятностей находятся в теоретическом разделе 5 темы).

Предположим, что в электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо друг от друга. Вероятности отказов 1-го, 2-го и 3-го элементов соответственно равны Р1 = 0,1, Р2 = 0,15, Р3 = 0,2. Будем считать цепь надежной, если вероятность того, что в цепи не будет тока, не более 0,4. Требуется определить, является ли цепь надежной.

1. Построение модели. Так как элементы включены последовательно, то тока в цепи не будет, если откажет хотя бы один из элементов.

Пусть А – событие, состоящее в том, что тока в цепи не будет; событие Аi (i = 1, 2, 3) заключается в том, что i -тый элемент работает. Тогда Р(А1) = 1 – 0,1 = 0,9, Р(А2) = 1- 0,15 = 0,85, Р(А3) = 1 – 0,2 = 0,8. Очевидно, что событие, состоящее в том, что по цепи проходит ток, равно событию, заключающемуся в том, что все три элемента работают, т.е. равно произведению трех независимых событий А1, А2 и А3 (наступление каждого из этих событий не зависит от наступления двух других).

2. Решение математической задачи, к которой приводит модель. По теореме о вероятности произведения независимых событий Р(А1А2А3) = Р(А1)Р(А2)Р(А3) = 0,9·0,85 ·0,8 = 0,612. Тогда Р(А) + Р(А1А2А3) = 1. Поэтому Р(А) = 1 – 0,612 = 0,388 < 0,4.

3. Интерпретация полученных следствий из математической модели. Р(А) = 0,388 < 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

 

Задача о диете.

Дама просто приятная решила похудеть и, как это нередко случается, обратилась за советом к подруге. Подруга – дама приятная во всех отношениях, посоветовала ей перейти на рациональное питание, состоящее из двух новомодных продуктов Р и Q.

Дневное питание этими новинками должно давать не более 14 единиц жира (чтобы похудеть), но и не менее 300 калорий (чтобы не сойти с дистанции раньше). На банке с продуктом Р написано, что в одном килограмме этого продукта содержится 15 единиц жира и 150 калорий, а на банке с продуктом Q – 4 единицы жира и 200 калорий соответственно. При этом цена 1 кг продукта Р равна 15 у.е., а 1 кг продукта Q – 25 у.е.

Так как дама просто приятная в это время была несколько стеснена в средствах, то ее интересовал ответ на следующий вопрос: в какой пропорции нужно брать эти удивительные продукты Р и Q для того, чтобы выдержать условия диеты и истратить как можно меньше денег?

1. Построение модели. Обозначим через х количество продукта Р, а через у – количество продукта Q, требуемые для выполнения условий диеты.

Количество единиц жира, содержащегося в х кг продукта Р и в у кг продукта Q, равно 15 х + 4 у и по условию диеты не должно превосходить 14. Поэтому .

В свою очередь, количество калорий, содержащихся в х кг продукта Р и в у кг продукта Q, равно 150 х + 200 у и должно быть не меньше 300. Значит, .

Теперь о стоимости продуктов. Она равна z(х; у) = 15x + 25y и в соответствии с высказанными пожеланиями должна быть минимальной. Последнее записывается так: z(х; у) = 15x + 25y → min.

Итак, мы получили систему неравенств

которая является математической моделью задачи.

Полученная система неравенств называется системой ограничений задачи, а функция z(х; у) называется целевой функцией задачи.

2. Решение математической задачи, к которой приводит модель. Для решения применим координатно-графический метод.

Решением системы ограничений является многоугольник, полученный путем пересечения областей решений всех неравенств системы. Решением линейного неравенства является одна из полуплоскостей, на которые прямая, соответствующая данному неравенству, делит координатную плоскость. Для определения искомой полуплоскости берется точка, не лежащая на прямой, ее координаты подставляются в неравенство. Если в результате получается верное числовое неравенство, то решением является полуплоскость, содержащая выбранную точку. В противном случае, решением является другая полуплоскость.

Введем на плоскости прямоугольную систему координат хОу и построим многоугольник решений системы ограничений нашей задачи.

Из условий х ≥ 0 и у ≥ 0 вытекает, что все точки, которые удовлетворяют системе ограничений, лежат в первой координатной четверти.

Теперь решим неравенство . Ему соответствует прямая, заданная уравнением , которая проходит через точки и . Для проверки возьмем точку О(0; 0): 15 · 0 + 4 · 0 = 0 ≤ 14. Так как 0 ≤ 14 – верное неравенство, то решением неравенства является полуплоскость, содержащая точку О.

Обращаясь подобным же образом с неравенством , находим точки пересечения прямой с осями координат – точки С(2; 0) и D(0; 1,5). Для проверки также возьмем точку О(0; 0): 150 · 0 + 200 · 0 = 0 ≥ 300. Так как 0 ≥ 300 – неверное числовое неравенство, то решением неравенства является полуплоскость, не содержащая точку О.

Рисунок 7.4

Пересечением всех полуплоскостей является треугольник BDK (рис. 7.4). Точка К является точкой пересечения прямых АВ и CD и имеет координаты .

Теперь среди всех точек треугольника найдем ту, координаты которой удовлетворяют условию минимальности целевой функции z.

Для этого построим так называемую линию нулевого уровня функции z, которая задается уравнением z(x; y) = 0. Будем двигать эту прямую в направлении вектора , координатами которого являются соответствующие коэффициенты целевой функции, до места первой встречи этой прямой с треугольником BDK. Искомой точкой будет точка К . То есть искомые значения х = , у = 1.

3. Интерпретация полученных следствий из математической модели. Таким образом, чтобы выполнить условия диеты и истратить при этом как можно меньше средств, продукты Р и Q нужно брать в отношении х: у = : 1 = 2: 3. То есть на 2 части продукта Р брать 3 части продукта Q.

Выводы

Модель – это условный образ объекта, построенный для упрощения его исследования.

Конечно, при попытке упрощенного описания ситуации некоторыми обстоятельствами приходится пренебрегать, считая их несущественными. Однако единого взгляда на то, что именно существенно, а что не очень, по-видимому, нет. Можно, например, не обращать внимания на то, что начался дождик. Но одно дело пробежать под накрапывающим дождем сотню метров, и совсем другое – часовая прогулка под таким дождем без зонта.

Предлагая построенную или выбранную нами модель, мы непременно должны указывать пределы, в которых ею можно пользоваться, и предупреждать о том, что нарушение этих ограничений приводит (и, скорее всего, приведет) к серьезным ошибкам. Коротко говоря, у каждой модели есть свой ресурс.

Покупая блузку или рубашку, мы привыкли к наличию меток, на которых указаны максимально допустимая температура глажения, дозволенные виды стирки и т.п. Это, конечно, ни в коей мере не означает, что нам запрещается, взяв докрасна раскаленный утюг, пройтись им по ткани раз-другой. Такое мы сделать можем. Но вот захотим ли мы носить блузку или рубашку после такого глажения?

Таким образом, построение модели опирается на значительное упрощение изучаемой ситуации и, следовательно, к получаемым на ее основе выводам нужно относиться достаточно осторожно – модель может не все.

Вместе с тем, даже весьма грубая на вид идеализация нередко позволяет глубже вникнуть в суть проблемы. Пробуя как-то влиять на параметры модели (выбирать их, управлять ими), мы получаем возможность подвергнуть исследуемое явление качественному анализу и сделать выводы общего характера.

 

Контрольные вопросы

 

1 Что такое модель, моделирование?

2 Какие два подхода различают в моделировании? В чем их особенность?

3 Перечислите типы моделей. Дайте им краткую характеристику.

4 В чем важность математического моделирования?

5 Перечислите этапы математического моделирования. Охарактеризуйте каждый этап.

6 Как можно классифицировать математические модели?

7 Приведите пример задачи математического моделирования.

8 Почему нужно с осторожностью относиться к выводам, полученным на основе модели?



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2017-02-07; просмотров: 1131; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.234.165.107 (0.01 с.)