Тема 4: Элементы комбинаторики

Основной уровень

Задание 1. Вычислите: а) , б) . (п – номер варианта)

 

Задание 2. Вычислите а) , б) , в) . (п – номер варианта)

 

Задание 3. Решите задачу:

3.1 Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9? Сколько среди них чисел, кратных 5?

3.2 Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9? Сколько среди них чисел, кратных 11?

3.3 Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9? Сколько среди них чисел, кратных 3?

3.4 Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде четырех вертикальных полос, одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный, зеленый. У каждой страны свой, отличный от других, флаг. Сколько всего стран могут использовать такую символику? Сколько всего стран могут использовать такую символику с верхней белой полосой?

3.5 Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде четырех вертикальных полос, одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный, зеленый. У каждой страны свой, отличный от других, флаг. Сколько всего стран могут использовать такую символику? Сколько всего стран могут использовать такую символику с нижней зеленой полосой?

3.6 Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде четырех вертикальных полос, одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный, зеленый. У каждой страны свой, отличный от других, флаг. Сколько всего стран могут использовать такую символику? Сколько всего стран могут использовать такую символику с синей и красной полосами, расположенными рядом?

3.7 В футбольном турнире участвуют несколько команд. Оказалось, что все они для трусов и футболок использовали белый, красный, синий, зеленый или желтый цвета, причем были представлены все возможные варианты. Сколько команд участвовали в турнире? Сколько команд играли в зеленых футболках?

3.8 В футбольном турнире участвуют несколько команд. Оказалось, что все они для трусов и футболок использовали белый, красный, синий, зеленый или желтый цвета, причем были представлены все возможные варианты. Сколько команд участвовали в турнире? У скольких команд футболки и трусы были разного цвета?

3.9 В футбольном турнире участвуют несколько команд. Оказалось, что все они для трусов и футболок использовали белый, красный, синий, зеленый или желтый цвета, причем были представлены все возможные варианты. Сколько команд участвовали в турнире? У скольких команд футболки и трусы были разного цвета, причем трусы были не красные?

3.10 В клетки квадратной таблицы 2x2 произвольно ставят крестики и нолики. Сколькими способами можно заполнить эту таблицу? В скольких случаях в левой нижней клетке будет стоять крестик?

 

Задание 4. Решите задачу:

4.1 Вова точно помнит, что в формуле оксида азота подряд идут буквы Н и О и что есть один нижний индекс – то ли двойка, то ли тройка. Нарисуйте дерево возможных вариантов, из которых Вове придется выбирать ответ. Сколько имеется вариантов, в которых индекс равен двойке?

4.2 Вова точно помнит, что в формуле оксида азота подряд идут буквы Н и О и что есть один нижний индекс – то ли двойка, то ли тройка. Нарисуйте дерево возможных вариантов, из которых Вове придется выбирать ответ. Сколько имеется вариантов, в которых индекс стоит на первом месте?

4.3 Вова точно помнит, что в формуле оксида азота подряд идут буквы Н и О и что есть один нижний индекс – то ли двойка, то ли тройка. Нарисуйте дерево возможных вариантов, из которых Вове придется выбирать ответ. Сколько имеется вариантов, в которых индекс стоит на втором месте?

4.4 Одновременно происходят выборы мэра города и префекта округа. На должность мэра выставили свои кандидатуры Алкин, Балкин, Валкин, а на должность префекта – Эшкин, Юшкин, Яшкин. Нарисуйте дерево возможных вариантов голосования и определите с его помощью число различных исходов. В скольких вариантах будет кандидатура Эшкина?

4.5 Одновременно происходят выборы мэра города и префекта округа. На должность мэра выставили свои кандидатуры Алкин, Балкин, Валкин, а на должность префекта – Эшкин, Юшкин, Яшкин. Нарисуйте дерево возможных вариантов голосования и определите с его помощью число различных исходов. В скольких вариантах фамилии кандидатов на должность мэра и на должность префекта состоят из разного числа букв?

4.6 Одновременно происходят выборы мэра города и префекта округа. На должность мэра выставили свои кандидатуры Алкин, Балкин, Валкин, а на должность префекта – Эшкин, Юшкин, Яшкин. Нарисуйте дерево возможных вариантов голосования и определите с его помощью число различных исходов. Как изменится ответ, если учесть еще кандидата «против всех»?

4.7 Из четырех тузов поочередно выбирают два. Нарисуйте дерево возможных вариантов. В скольких случаях среди выбранных будет бубновый туз?

4.8 Из четырех тузов поочередно выбирают два. Нарисуйте дерево возможных вариантов. В скольких случаях вторым выбранным будет туз пик?

4.9 Из четырех тузов поочередно выбирают два. Нарисуйте дерево возможных вариантов. В скольких случаях тузы будут разного цвета?

4.10 У Аси есть любимый костюм, в котором она ходит в школу. Она одевает к нему белую, голубую, розовую или красную блузку, а в качестве «сменки» берет босоножки или туфли. Нарисуйте дерево возможных вариантов Асиной одежды. Сколько дней Ася сможет выглядеть по-новому в этом костюме?

 

Задание 5. Решите задачу, используя правила умножения и сложения и формулы сочетаний, размещений и перестановок.

5.1 «Вороне где-то Бог послал кусочек сыра», брынзы, колбасы, сухарика и шоколада. «На ель Ворона взгромоздясь, позавтракать совсем уж было собралась, да призадумалась»:

а) если есть кусочки по очереди, то из скольких вариантов придется выбирать;

б) сколько получится «бутербродов» из двух кусочков;

в) если съесть сразу три кусочка, а остальные спрятать, то из скольких вариантов придется выбирать;

г) сколько получится вариантов, если какой-то кусочек все-таки бросить Лисе, а потом ответить на вопрос пункта а)?

5.2 «Проказница Мартышка, Осел, Козел и косолапый Мишка затеяли сыграть квартет». Сколькими способами они могут:

а) по одному сесть за выбранные четыре инструмента;

б) выбрать 5 инструментов из 12 данных;

в) по одному сесть за какие-то 4 из выбранных 5 инструментов из 12 данных;

г) выгнать одного, не имеющего слуха, и потом сыграть на каких-то трех из выбранных 5 инструментов из 12 данных?

5.3 Из колоды в 36 карт вынимают 5 карт. Найдите:

а) число всех возможных вариантов выбора;

б) число вариантов, при которых среди полученных карт есть 4 туза;

в) число вариантов, при которых все полученные карты – пики;

г) число вариантов, при которых все полученные карты – одной масти.

5.4 По списку в 9 классе 15 девочек и 13 мальчиков. Нужно выбрать трех дежурных по классу. Сколькими способами это можно сделать:

а) все члены этой группы должны быть девочками;

б) все члены этой группы должны быть мальчиками;

в) в группе должны быть 1 девочка и 2 мальчика;

г) в группе должны быть 2 девочки и 1 мальчик?

5.5 По списку в 9 классе 15 девочек и 13 мальчиков. Нужно выделить группу из трех человек для посещения заболевшего одноклассника. Сколькими способами это можно сделать, если:

а) все члены этой группы должны быть девочками;

б) все члены этой группы должны быть мальчиками;

в) в группе должны быть 1 девочка и 2 мальчика;

г) в группе должны быть 2 девочки и 1 мальчик?

5.6 По списку в 9 классе 15 девочек и 13 мальчиков. Нужно выделить группу из трех человек для посещения заболевшей одноклассницы. Сколькими способами это можно сделать, если:

а) все члены этой группы должны быть девочками;

б) все члены этой группы должны быть мальчиками;

в) в группе должны быть 1 девочка и 2 мальчика;

г) в группе должны быть 2 девочки и 1 мальчик?

5.7 В оперном театре 10 певцов и 8 певиц, а в опере по замыслу композитора 5 мужских и 3 женских партии. Сколько существует различных певческих составов для спектакля, если известно, что:

а) певцы А и Б ни за что не будут петь вместе;

б) певец А будет петь тогда и только тогда, когда будет петь певица В;

в) 6 певцов накануне сорвали голос на футболе, и одной певице придется петь мужскую партию;

г) все певцы и певицы прекрасно ладят между собой?

5.8 а) Составьте таблицу из двух строк, расположив в первой строке числа k от 0 до 5, во второй строке – числа ; б) При каком значении числа k получится наибольшее значение числа ? в) Найдите сумму чисел во второй строке составленной таблицы; г) Отметьте на координатной плоскости точки (k; ).

5.9 а) Составьте таблицу из двух строк, расположив в первой строке числа k от 0 до 5, во второй строке – числа . б) При каком значении числа k получится наибольшее значение числа ? в) Найдите сумму чисел во второй строке составленной таблицы. г) Отметьте на координатной плоскости точки (k; ).

5.10 а) Проверьте, что (а + b)² = а²b⁰ + а¹b¹ + а⁰b². б) Проверьте, что (a + b)³ = a³b⁰ + a²b¹ + a¹b² + a⁰b³. в) Используя равенство (a + b)⁴ = (a + b)³(a+b), выведите формулу сокращенного умножения для суммы двух чисел в четвертой степени. г) Проверьте, что (a + b)⁴ = a⁴b⁰ + a³b¹ + a²b² + a¹b³ + a⁰b⁴.

Повышенный уровень

Задание 1. Вычислите: а) , б) . (п – номер варианта)

 

Задание 2. Вычислите а) , б) , в) . (п – номер варианта)

Задание 3. Решите задачу:

3.1 Современные пятиборцы в течение двух дней участвуют в соревновании по следующим видам спорта: конкур (кросс на лошадях), фехтование, плавание, стрельба, бег.

а) Сколько существует вариантов порядка прохождения видов соревнования?

б) Сколько существует вариантов порядка прохождения видов соревнования, если известно, что последним видом должен быть бег?

в) Сколько существует вариантов порядка прохождения видов соревнования, если известно, что последним видом должен быть бег, а первым – конкур?

г) Сколько существует вариантов, в которых конкур и фехтование не проходят подряд?

3.2 Шесть граней игрального кубика помечены цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6. Кубик бросают дважды и записывают выпадающие цифры.

а) Найдите число всех возможных вариантов.

б) Укажите те из них, в которых произведение выпавших чисел кратно 10.

в) Составьте таблицу из двух строк. В первой строке запишите суммы выпавших очков, во второй – количество вариантов, в которых выпадает эта сумма.

г) Составьте аналогичную таблицу для модуля разности выпавших очков.

3.3 На плоскости даны 10 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Три точки покрасили в рыжий цвет, а остальные – в черный.

а) Сколько можно провести отрезков с разноцветными концами?

б) Сколько можно провести отрезков с рыжими концами?

в) Составьте таблицу из двух строк. В первой строке запишите количество рыжих точек из 10 данных (от 0 до 10), во второй – число отрезков с разноцветными концами при таком способе раскраски.

г) 5 точек покрасили в серый цвет, 2 точки – в бурый и 3 – в малиновый цвет. Сколько можно построить серо-буро-малиновых треугольников?

3.4 Группа туристов планирует осуществить поход по маршруту Антоново – Борисово – Власово – Грибово. Из Антонова в Борисово можно сплавиться по реке или дойти пешком. Из Борисова во Власово можно дойти пешком или доехать на велосипедах. Из Власова в Грибово можно доплыть по реке, доехать на велосипедах или дойти пешком.

а) Нарисуйте дерево возможных вариантов похода.

б) Сколько всего вариантов похода могут выбрать туристы?

в) Сколько есть полностью не пеших вариантов?

г) Сколько вариантов похода могут выбрать туристы при условии, что хотя бы на одном из участков маршрута они должны использовать велосипеды?

3.5 Вова услышал в песне, что «...у зим бывают имена...». Он вспомнил семь самых хороших зим своей жизни, написал семь женских имен и решил дать каждой вспомнившейся зиме женское имя из своего списка (всем – разное).

а) Сколькими способами он может это сделать?

б) Сколько способов существует, если первая зима – точно Татьяна, а последняя – несомненно, Анна?

в) Сколько способов существует, если женских имен восемь, а не семь?

г) Сколько способов существует, если имен семь, а зим восемь?

 

Задание 4. Выполните требуемое действие:

4.1 Вычислите: а) 7!; б) 8!; в) 6! - 5!; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) .

4.2 Сократите дробь: а) ; б) ; в) ; г) .

4.3 Упростите выражение: а) ; б) ; в) ; г) .

4.4 Решите уравнение: а) п! = 7(п - 1)!; б) (m + 17)! = 420(m + 15)!; в) (b - 10)! = 77(b - 11)!; г) (З х)! = 504(3 x - 3)!.

4.5 1) Делится ли 11! на: а) 64; б) 25; в) 81; г) 49? 2) Сколькими нулями оканчивается число: а) 101; б) 12!; в) 15!; г) 26!?

 

Задание 5. Решите задачу:

5.1 а) Вычислите для п = 3, 4, 5, 6, 7. б) Отметьте на координатной плоскости точки (п; ) для п = 3, 4, 5, 6, 7. в) На графике какой функции у = f(х) лежат все точки вида (п; )? г) Начиная с какого п все эти точки будут расположены выше прямой у = 10x + 37?

5.2 Решите уравнение: а) ; б) ; в) ; г) .

5.3 В чемпионате России по футболу в высшей лиге уча­ствуют 16 команд. Перед началом чемпионата газета «Спорт» провела Интернет-опрос читателей, задав им два вопроса: 1) какая команда получит золотые, какая – серебряные и какая – бронзовые медали? 2) какие две команды окажутся среди неудачников, т. е. займут два последних места? Читатели в своих ответах указали все возможные варианты и при ответе на первый, и при ответе на второй вопросы.

а) Сколько вариантов состава неудачников указали участники опроса?

б) Сколько из них тех, в которые входит команда «Динамо»?

в) Сколько вариантов тройки призеров указали участники опроса?

г) Сколько из них тех, в которые входят «Спартак» и «Зенит»?

5.4 Из 20 вопросов к экзамену Вова 12 вопросов выучил, 5 совсем не смотрел, а в остальных что-то знает, а что-то нет. На экзамене в билете будет три вопроса.

а) Сколько существует вариантов билетов?

б) Сколько из них тех, в которых Вова знает все вопросы?

в) Сколько из них тех, в которых есть вопросы всех трех типов?

г) Сколько из них тех, в которых Вова выучил большинство вопросов?

5.5 Двенадцать рабочих надо разбить на три бригады по 4 человека.

а) Сколько может быть различных составов бригад?

б) Сколько из них тех, в которых рабочие А, Б, В окажутся вместе?

в) Сколько из них тех, в которых рабочие Д и Е окажутся вместе?

г) Сколько из них тех, в которых рабочие А, Б, В по одному окажутся в разных бригадах?