Тема 3: Элементы математической логики

Основной уровень

Задание 1. Укажите, какие из данных предложений являются высказываниями или высказывательными формами, не являются высказываниями или высказывательными формами:

1.1 а) Курган – столица России; б) Студент университета; в) Треугольник АВС подобен треугольнику А¹В¹С¹; г) Луна – спутник Марса.

1.2 а) Кислород – газ; б) Каша – вкусное блюдо; в) Математика – интересный предмет; г) Картины Пикассо слишком абстрактны.

1.3 а) Железо тяжелее свинца; б) Да здравствуют музы!; в) Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны; г) Если в треугольнике все углы равны, то он равносторонний.

1.4 а) Сегодня плохая погода; б) В романе А.С. Пушкина «Евгений Онегин» 136 245 букв; в) Река Ангара впадает в озеро Байкал; г) Число 12345 кратно 3.

1.5 а) Чтобы подключиться к Интернету с домашнего компьютера, необходим модем и соответствующее программное обеспечение; б) Солнце светит для всех; в) Все ученики любят информатику; г) Некоторые из учеников любят информатику.

1.6 а) А ты любишь информатику?; б) Посмотри в окно; в) Крокодилы летают очень низко; г) Число 8456 является совершенным.

1.7 а) Без труда не выловишь и рыбку из пруда; б) Как хорошо быть генералом!; в) Революция может быть мирной и немирной; г) Зрение бывает нормальное, или у человека имеется дальнозоркость или близорукость.

1.8 а) Познай самого себя; б) Не может быть, что ни один человек не дышит жабрами; в) Талант всегда пробьет себе дорогу; г) Некоторые животные мыслят.

1.9 а) Информатика, в частности, изучает алгоритмы; б) Всякая истина является конкретной; в) Это утверждение ложно; г) Человек – брюнет.

1.10 а) Существует жизнь после смерти; б) Шел дождь; в) Число у делится на 7; г) 3 + 2 = 5.

 

Задание 2. Формализуйте данные сложные высказывания:

2.1 а) «Луна - планета и 2 + 3 = 5»; б) «Если 17 делится на 4, то оно делится на 2»; в) «12 делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 3»; г) «Если на улице холодно и сыро, мы не пойдем в лес».

2.2 а) «Луна – планета или 2 + 3 = 5»; б) «Если 20 делится на 4, оно делится на 2»; в) «11 делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 3»; г) «На улице не холодно или на улице не сыро».

2.3 а) «1 – простое число и 2 – простое число»; б) «Если Солнце всходит на востоке, то оно заходит на западе»; в) «15 делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 3»; г) «Здесь холодно, и было бы хорошо, если бы ты закрыл окно».

2.4 а) «1 – простое число или 2 – простое число»; б) «Если Солнце всходит на юге, то оно заходит на западе»; в) «15 делится на 3 тогда и только тогда, когда оно делится на 6»; г) «Если какое-то вещество нагревать, оно расплавится или испарится, но оно может также и взорваться».

2.5 а) «Кислород – металл и 2 ´ 2 = 5»; б) «Если Солнце всходит на востоке, то оно заходит на севере»; в) «12 делится на 6 тогда и только тогда, когда 12 делится на 3»; г) «Если завтра выпадет снег, мы пойдем в лес на лыжах и возьмем с собой собаку».

2.6 а) «Кислород – металл или 2 ´ 2 = 5»; б) «Если Солнце всходит на севере, то оно заходит на западе»; в) «11 делится на 6 тогда и только тогда, когда 11 делится на 3»; г) «Если свет имеет волновую природу, то когда он представляется в виде потока частиц (корпускул), допускается ошибка».

2.7 а) «Цинк – металл и цезий – металл»; б) «Если Москва – большой город, то Солнце заходит на западе»; в) «15 делится на 6 тогда и только тогда, когда 15 делится на 3»; г) «Если данное число делится на 6, то оно делится на 2 и делится на 3».

2.8 а) «Цинк – металл или цезий – металл»; б) «Если Москва – большой город, то Солнце заходит на юге»; в) «15 делится на 5 тогда и только тогда, когда 15 делится на 4»; г) «Если данное число делится на 8, то оно является четным или делится на 16».

2.9 а) «Каждое число делится на 2 или делится на 3»; б) «Если 2 ´ 2 = 5, то Нью-Йорк – маленький город»; в) «15 делится на 5 тогда и только тогда, когда 15 делится на 4»; г) «Если вы были в Париже, то вы видели Лувр или видели Эйфелеву башню».

2.10 а) «Эйфелева башня находится в Париже или она находится в Нью-Йорке»; б) «Если 2 ´ 2 = 5, то Нью-Йорк – большой город»; в) «Солнце восходит на востоке тогда и только тогда, когда оно заходит на западе»; г) «Если мистер Джонс счастлив, то миссис Джонс несчастлива и если мистер Джонс несчастлив, то миссис Джонс счастлива».

 

Задание 3. По форме высказываний и выраженным на естественном языке составляющим его простым высказываниям получите фразу на естественном языке. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 13) ; 14) ; 15) ; 16) .

3.1 а = «8 – четное число»; b = «8 делится на 4»

3.2 а = «Все дети любят манную кашу»; b = «Все дети хорошо растут»

3.3 а = «Самолеты летают высоко»; b = «Самолеты падают очень редко»

3.4 а = «Собака бывает кусачей»; b = «Собака живет в будке»

3.5 а = «9 – нечетное число»; b = «9 делится на 3»

3.6 а = «Лошади умеют летать»; b = «Лошади высоко прыгают»

3.7 а = «Ночью все кошки серы»; b = «Найти черную кошку в черной комнате очень легко»

3.8 а = «Историк Гуськов увлекается математикой»; b = «Математика помогает изучать историю»

3.9 а = «6 – четное число»; b = «6 делится на 4»

3.10 а = «Все спортсмены – здоровые люди»; b = «Спорт помогает вести здоровый образ жизни»

Задание 4. Составьте таблицы истинности для формул:

4.1 1) ; 2) ; 3) .

4.2 1) ; 2) ; 3) .

4.3 1) ; 2) ; 3) .

4.4 1) ; 2) ; 3) .

4.5 1) ; 2) ; 3) .

4.6 1) ; 2) ; 3) .

4.7 1) ; 2) ; 3) .

4.8 1) ; 2) ; 3) .

4.9 1) ; 2) ; 3) .

4.10 1) ; 2) ; 3) .

Задание 5. Укажите, какие из формул в предыдущей задаче являются тавтологиями, противоречиями, выполнимыми (опровержимыми).

 

Задание 6. С помощью таблиц истинности проверьте, какие из данных формул являются равносильными:

6.1 F = ; G = ; H = .

6.2 F = ; G = ; H = .

6.3 F = ; G = ; H = .

6.4 F = ; G = ; H = .

6.5 F = ; G = ; H = .

6.6 F = ; G = ; H = .

6.7 F = ; G = ; H = .

6.8 F = ; G = ; H = .

6.9 F = ; G = ; H = .

6.10 F = ; G = ; H = .

 

 

Повышенный уровень

 

Задание 1. Укажите, какие из данных предложений являются высказываниями или высказывательными формами, не являются высказываниями или высказывательными формами:

1.1 а) Число слов в этом предложении равно семи; б) В четырехугольнике противоположные стороны равны; в) Во всяком четырехугольнике противоположные стороны равны; г) Существует наибольшее натуральное число.

1.2 а) Осень – лучшая пора года; б) Небо над Сицилией всегда голубое; в) Сожалею, но вы мне не нравитесь; г) Ни одно простое число не является четным.

1.3 а) Глина – это жидкость или газ; б) Из елки можно сделать палку, но из палки не сделаешь елку; в) Фенхель лучше всего растет на участках со сравнительно влажной, слегка кислой почвой; г) Некоторые птицы не летают.

1.4 а) Если воробей – птица, он летает; б) Каждый квадрат является ромбом; в) У ромба диагонали взаимно перпендикулярны; г) Когда идет дождь, все небо покрыто тучами.

1.5 а) Число является простым, если и только если оно делится только на единицу и на само себя; б) Холодный и пустынный дом; в) Если металл нагревается, он плавится; г) Неправда, что философские споры неразрешимы.

 

Задание 2. Формализуйте данные сложные высказывания:

2.1 а) «Лев Толстой написал роман «Воскресение» или он написал роман «Анна Каренина»»; б) «Тот, кто изучал геометрию, знает теорему Пифагора или, во всяком случае, слышал о ней, а если эта теорема ему неизвестна, ему нетрудно будет понять ее».

2.2 а) «Число 2 четное или оно простое»; б) «Если у меня будет свободное время и не будет дождя, то я не буду писать сочинение, а пойду на дискотеку».

2.3 а) «2 ´ 2 = 4 или белые медведи живут в Африке»; б) «Лошадь погибает от одного грамма никотина, но я не лошадь, следовательно, курить вредно».

2.4 а) «Если Париж расположен на Темзе, то белые медведи обитают в Африке»; б) «Без Вас хочу сказать Вам много,/ При Вас я слушать Вас хочу».

2.5 а) «Если я – Наполеон, то у кошки четыре ноги»; б) «Люди получают высшее образование тогда, когда они заканчивают институт, университет или академию».

 

Задание 3. По форме высказываний и выраженным на естественном языке составляющим его простым высказываниям получите фразу на естественном языке. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) .

3.1 а = «Теория Дарвина является научной»; b = «Теория Дарвина может быть подтверждена опытными данными»; с = «Теория Дарвина может быть опровергнута опытными данными».

3.2 а = «Свидетель был запуган»; b = «Свидетель видел преступника»; с = «Свидетель запомнил номера скрывшейся машины».

3.3 а = «Обезьяну можно научить играть на скрипке»; b = «Обезьяна очень умна»; с = «Обезьяна может запоминать порядок выполнения операций».

3.4 а = «Ребенок требует к себе повышенного внимания»; b = «Ребенок очень устал»; с = «Ребенок хочет есть».

3.5 а = «Работать на компьютере интересно»; b = «Работать на компьютере полезно»; с = «Работать на компьютере вредно для здоровья».

 

Задание 4. Составьте таблицы истинности для формул:

4.1 1) ; 2) ; 3) .

4.2 1) ; 2) ; 3) .

4.3 1) ; 2) ; 3) .

4.4 1) ; 2) ; 3) .

4.5 1) ; 2) ; 3) .

 

Задание 5. Укажите, какие из формул в предыдущей задаче являются тавтологиями, противоречиями, выполнимыми (опровержимыми).

 

Задание 6. С помощью таблиц истинности проверьте, какие из данных формул являются равносильными:

6.1 F = ; G = ; H = .

6.2 F= ; G = ; H = .

6.3 F = ; G = ; H = .

6.4 F = ; G = ; H = .

6.5 F = ; G = ; H = .