Тригонометрические функции двойного, половинного аргумента.

1. Тригонометрические функции двойного аргумента:

 

2. Формулы понижения степени:

 

3. Тригонометрические функции половинного аргумента:

 

 

27. Преобразование суммы и разности одноименных тригонометрических функций в произведение.

1. Сумма синусов

2. Разность синусов

3. Сумма косинусов

4. Разность косинусов

5. Сумма тангенсов

6. Разность тангенсов

7. Сумма котангенсов

8. Разность котангенсов

1) Объясним первую формулу:

x + y x – y
sin x + sin y = 2 sin ——— cos ———
2 2

Она поучена из формул синуса сложения и разности аргументов:

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

sin (α – β) = sin α cos β – sin β cos α.

Сложим две формулы:

sin (α + β) + sin (α – β) = sin α cos β + sin β cos α + sin α cos β – sin β cos α = 2 sin α cos β.

Таким образом,

sin (α + β) + sin (α – β) = 2 sin α cos β.

К этой формуле вернемся в конце наших вычислений.

Теперь введем новые переменные:

вместо α + β напишем х,

вместо α – β напишем у.

Тогда:

sin х + sin у = 2 sin α cos β.

В то же время, введя новую переменную, мы получили систему уравнений. Решим ее методом алгебраического сложения:

│α + β = х
│α – β = у

 

│α + β + α – β = х + у
│α + β – α + β = х – у

 

│2α = х + у
│2β = х – у

│ х + у
│α = ———
│ 2
│
│ х – у
│ β = ———
│ 2

Вернемся к полученной нами сумме двух формул сложения аргументов: sin х + sin у = 2 sin α cos β. Осталось подставить в них полученные значения α и β, чтобы в итоге получить нашу формулу:

x + y x – y
sin x + sin y = 2 sin ——— cos ———
2 2

2) Вторая формула из таблицы логически вытекает из первой и доказывается просто.

Вспомним свойство нечетности синуса: sin (–y) = – sin y.

Из этого следует, что sin x – sin y = sin x + (–sin y). Следовательно:

x + (–y) x – (–y) х – у х+ у
sin x + (–sin y) = 2 sin ———— cos ———— = 2 sin ——— cos ———.
2 2 2 2

Таким образом:

x – y x + y
sin x – sin y = 2 sin ——— cos ———
2 2

 

Аналогично преобразуются в произведение суммы косинусов.

Преобразуем еще суммы тангенсов и котангенсов. Порядок прост: представляем тангенсы и котангенсы как отношение синусов и косинусов, находим для полученных дробей общий знаменатель и применяем формулы сложения. То есть совершаем всего три действия:

sin x sin y sin x cos y + cos x sin y sin ( x + y )
tg x + tg y = ——— + ——— = ———————————— = ——————
cos x cos y cos x cos y cos x cos y

 

cos x cos y cos x sin y + sin x cos y sin ( x + y )

ctg x + ctg y = ——— + ——— = ———————————— = ——————
sin x sin y sin x sin y sin x sin y

Преобразование разностей в произведение осуществляется таким же образом.

28. Преобразование произведения одноименных тригонометрических функций в сумму и разность

,
,
.

Первая формула получается сложением формул синуса суммы и синуса разности, в каждой из которых левую и правую часть поменяем местами:

,
,
,
.

Вторая формула получается сложением, а третья — вычитанием следующих равенств (формул сложения для косинуса):

,
,
,
.

Окончательно:

,
.

Применение этих формул иногда упрощает преобразование тригонометрического выражения.

29. Простейшие тригонометрические уравнения y=sin x, y=cos x, y=tg x, y=ctg x.

Уравнение sin x = a

Условия:

1) | a | ≤ 1

2) при | a | > 1 уравнение sin x = a не имеет решения среди действительных чисел.

 

Формула решения уравнения sin x = a:

x = (-1) ^n · arcsin α + π n где n – любое целое число (n ∈ Z).

 

Частные случаи, когда уравнение sin x = а имеет более простое решение:

Если…	То…
sin x = 0	x = π n
sin x = 1	x = π/2 +2π n
sin x = –1	x = –π/2 +2π n

Уравнение cos x = a

Условия:

1) | a | ≤ 1

2) при | a | > 1 уравнение sin x = a не имеет решения среди действительных чисел.

Формула решения уравнения cos x = a:

x = ± arccos α + 2π k где k – любое целое число (k ∈ Z).

Частные случаи, когда уравнение cos x = а имеет более простое решение:

Если…	То…
cos x = 0	π x = — + π k 2
cos x = 1	x = 2πk
cos x = –1	x = π + 2π k

Уравнения tg x = a и ctg x = a.

Формула решения уравнения tg x = a:

x = arctg a + π k где a – любое действительное число (a ∈R), k – любое целое число (k ∈ Z).

 

Формула решения уравнения ctg x = a:

x = arcctg a + π k где a – любое действительное число (a ∈R), k – любое целое число (k ∈ Z).