Простейшие тригонометрические неравенства.

1. Неравенство, в котором неизвестная переменная находится под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим неравенством.

2. К простейшим тригонометрически неравенствам относятся следующие 16 неравенств:
sin x > a, sin x ≥ a, sin x < a, sin x ≤ a,
cos x > a, cos x ≥ a, cos x < a, cos x ≤ a,
tan x > a, tan x ≥ a, tan x < a, tan x ≤ a,
cot x > a, cot x ≥ a, cot x < a, cot x ≤ a.
Здесь x является неизвестной переменной, a может быть любым действительным числом.

Неравенства вида sin x > a, sin x ≥ a, sin x < a, sin x ≤ a

Неравенство sin x > a

3. При a ≥ 1 неравенство sin x > a не имеет решений:
x ∈ ∅

4. При a < −1 решением неравенства sin x > a является любое действительное число:
x ∈ ℜ

5. При −1 ≤ a < 1 решение неравенства sin x > a выражается в виде
arcsin a + 2 πn < x < π − arcsin a + 2 πn, n ∈ Z (рис.1).

Неравенство sin x ≥ a

6. При a > 1 неравенство sin x ≥ a не имеет решений:
x ∈ ∅

7. При a ≤ −1 решением неравенства sin x ≥ a является любое действительное число:
x ∈ ℜ

8. Случай a = 1
x = π /2 + 2 πn, n ∈ Z

9. При −1 < a < 1 решение нестрогого неравенства sin x ≥ a включает граничные углы и имеет вид
arcsin a + 2 πn ≤ x ≤ π − arcsin a + 2 πn, n ∈ Z (рис.1).

Неравенство sin x < a

10. При a > 1 решением неравенства sin x < a является любое действительное число:
x ∈ ℜ

11. При a ≤ −1 у неравенства sin x < a решений нет:
x ∈ ∅

12. При −1 < a ≤ 1 решение неравенства sin x < a лежит в интервале
− π − arcsin a + 2 πn < x < arcsin a + 2 πn, n ∈ Z (рис.2).

Неравенство sin x ≤ a

13. При a ≥ 1 решением неравенства sin x ≤ a является любое действительное число:
x ∈ ℜ

14. При a < −1 неравенства sin x ≤ a решений не имеет:
x ∈ ∅

15. Случай a = −1
x = − π /2 + 2 πn, n ∈ Z

16. При −1 < a < 1 решение нестрогого неравенства sin x ≤ a находится в интервале
− π − arcsin a + 2 πn ≤ x ≤ arcsin a + 2 πn, n ∈ Z

Неравенства вида cos x > a, cos x ≥ a, cos x < a, cos x ≤ a

Неравенство cos x > a

17. При a ≥ 1 неравенство cos x > a не имеет решений:
x ∈ ∅

18. При a < −1 решением неравенства cos x > a является любое действительное число:
x ∈ ℜ

19. При −1 ≤ a < 1 решение неравенства cos x > a имеет вид
− arccos a + 2 πn < x < arccos a + 2 πn, n ∈ Z (рис.3).

Неравенство cos x ≥ a

20. При a > 1 неравенство cos x ≥ a не имеет решений:
x ∈ ∅

21. При a ≤ −1 решением неравенства cos x ≥ a является любое действительное число:
x ∈ ℜ

22. Случай a = 1
x = 2 πn, n ∈ Z

23. При −1 < a < 1 решение нестрогого неравенства cos x ≥ a выражается формулой
− arccos a + 2 πn ≤ x ≤ arccos a + 2 πn, n ∈ Z (рис.3).

Неравенство cos x < a

24. При a > 1 неравенство cos x < a справедливо при любом действительном значении x:
x ∈ ℜ

25. При a ≤ −1 неравенство cos x < a не имеет решений:
x ∈ ∅

26. При −1 < a ≤ 1 решение неравенства cos x < a записывается в виде
arccos a + 2 πn < x < 2 π − arccos a + 2 πn, n ∈ Z (рис.4).

Неравенство cos x ≤ a

27. При a ≥ 1 решением неравенства cos x ≤ a является любое действительное число:
x ∈ ℜ

28. При a < −1 неравенство cos x ≤ a не имеет решений:
x ∈ ∅

29. Случай a = −1
x = π + 2 πn, n ∈ Z

30. При −1 < a < 1 решение нестрогого неравенства cos x ≤ a записывается как
arccos a + 2 πn ≤ x ≤ 2 π − arccos a + 2 πn, n ∈ Z

 

Неравенства вида tan x > a, tan x ≥ a, tan x < a, tan x ≤ a

Неравенство tan x > a

31. При любом действительном значении a решение строгого неравенства tan x > a имеет вид
arctan a + πn < x < π /2 + πn, n ∈ Z (рис.5).

Неравенство tan x ≥ a

32. Для любого значения a решение неравенства tan x ≥ a выражается в виде
arctan a + πn ≤ x < π /2 + πn, n ∈ Z (рис.5).

Неравенство tan x < a

33. Для любого значения a решение неравенства tan x < a записывается в виде
− π /2 + πn < x < arctan a + πn, n ∈ Z (рис.6).

Неравенство tan x ≤ a

34. При любом a неравенство tan x ≤ a имеет следующее решение:
− π /2 + πn < x ≤ arctan a + πn, n ∈ Z

 

Неравенства вида cot x > a, cot x ≥ a, cot x < a, cot x ≤ a

Неравенство cot x > a

35. При любом a решение неравенства cot x > a имеет вид
πn < x < arccot a + πn, n ∈ Z (рис.7).

Неравенство cot x ≥ a

36. Нестрогое неравенство cot x ≥ a имеет аналогичное решение
πn < x ≤ arccot a + πn, n ∈ Z

Неравенство cot x < a

37. Для любого значения a решение неравенства cot x < a лежит в открытом интервале
arccot a + πn < x < π + πn, n ∈ Z (рис.8).

Неравенство cot x ≤ a

38. При любом a решение нестрогого неравенства cot x ≤ a находится в полуоткрытом интервале
arccot a + πn ≤ x < π + πn, n ∈ Z

 

 

Экзамен 1 сессия групп

 

 

 

 

2014-2015 гг.