Показательные неравенства. Основные способы решения.

Показательным неравенством называется неравенство, в котором неизвестная содержится только в показателе степени при постоянном основании А, А > 0, A ¹ 1.

При решении показательныx неравенств используются следующие утверждения:

A.1. Если a > 1, неравенство

a ^{f (x)} > a ^{g (x)}

равносильно неравенству

f (x) > g (x).

Аналогично, a ^{f (x)} < a ^{g (x)} Û f (x) < g (x).

A.2. Если 0 < a < 1, неравенство

a ^{f (x)} > a ^{g (x)}

равносильно неравенству

f (x) < g (x).

Аналогично, a ^{f (x)} < a ^{g (x)} Û f (x) > g (x).

A.3. Неравенство

[ h (x)] ^{f (x)} > [ h (x)] ^{g (x)}

равносильно совокупности систем неравенств

		h (x) > 1,
f (x) > g (x),
	0 < h (x) < 1,
f (x) < g (x).

Замечание.. Если знак неравенства (1) нестрогий, дополнительно рассматривается и случай

	h (x) = 1,
x Î D (f)Ç D (g),

где D (f) (D (g)) означает область определения функции f (g).

A.4. Если b ≥ 0, неравенство

a^{f (x)} < b

не имеет решений (следует из свойств показательной функции).

A.5. Если b ≤ 0, множеством решений неравенства a^{f (x)} > b является x Î D (f).

A.6. Если a > 1, b > 0, неравенство

a^{f (x)} > b

равносильно неравенству

f (x) > log _ab.

Аналогично, a ^{f (x)} < b Û f (x) < log _ab.

A.7. Если 0 < a < 1, b > 0, неравенство

a ^{f (x)} > b

равносильно неравенству

f (x) < log _ab.

Аналогично, a ^{f (x)} < b Û f (x) > log _ab.

Логарифм. Свойства логарифмов. Десятичные и натуральные логарифмы.

Логарифмом числа B (B > 0) По основанию а (А > 0, А ¹ 1) называют показатель степени, в которую нужно возвести число А, чтобы получить число B:

(6.1)

Формулу (6.1) называют Основным логарифмическим тождеством.

Логарифм числа B по основанию 10 называется Десятичным логарифмом И обозначается

Логарифм по основанию E (E = 2,71828…) называется Натуральным логарифмом и обозначается

Свойства логарифмов

Пусть Тогда:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11) Тогда и только тогда, когда

12) тогда и только тогда, когда

13) тогда и только тогда, когда

Обобщенные свойства логарифмов

Пусть и – выражения с переменной. Тогда:

3*) где

4*) где

5*) где

6*) где

З а м е ч а н и е 1. Следует различать произведение логарифмов и повторный логарифм

З а м е ч а н и е 2. Степень логарифма может быть записана двумя способами:

или

Логарифмированием называется операция нахождения логарифма числа или выражения.

Основное логарифмическое тождество. Правила действия с логарифмами. Переход к новому основанию.

Показательное уравнение не имеет решений при и имеет единственный корень в случае, когда . Этот корень называют логарифмом числа по основанию и обозначают , то есть

Итак, логарифмом числа по основанию называется показатель степени, в которую нужно возвести основание , чтобы получить число .

Определение

Выражение с учетом того, что называется - основным логарифмическим тождеством.

Натуральный логарифм — это логарифм по основанию e. Обозначается lnx.