Корни натуральной степени и их свойства

Арифметическим корнем n-ой степени из неотрицательного числа называется неотрицательное число, n-я степень которого равна :

Степень корня – это натуральное число, большее 1.

, ,

2.

3.

4.

5.

Частные случаи:

1. Если показатель корня целое нечетное число (), то подкоренное выражение может быть отрицательным.

В случае нечетного показателя уравнение при любом действительном значении и целом ВСЕГДА имеет единственный корень:

,

Для корня нечетной степени справедливо тождество:

,

2. Если показатель корня целое четное число (), то подкоренное выражение не может быть отрицательным.

В случае четного показателя уравнение имеет

при единственный корнь

и, если и

Для корня четной степени справедливо тождество:

Для корня четной степени справедливы равенства:

 

Степенная функция, ее свойства и график.

Степенная функция и ее свойства.

Степенная функция с натуральным показателем. Функ­ция у = хⁿ, где n — натуральное число, называется степен­ной функцией с натуральным показателем. При n = 1 получаем функцию у = х, ее свойства:

Прямая пропорциональность. Прямой пропорциональ­ностью называется функция, заданная формулой у = kxⁿ, где число k называется коэффициентом пропорциональ­ности.

Перечислим свойства функции у = kx.

Область определения функции — множество всех действительных чисел.

y = kx — нечетная функция (f(— х) = k (— х)= — kx = -k(х)).

3) При k > 0 функция возрастает, а при k < 0 убывает на всей числовой прямой.

Гра­фик (прямая) изображен на рисунке II.1.

Рис. II.1.

При n=2 получаем функцию y = х², ее свойства:

Функция у —х². Перечислим свойства функции у = х².

Область определения функции — вся числовая прямая.

у = х²— четная функция (f(— х) = (— x)² = x² = f (х)).

На промежутке [0; + οο) функция возрастает.

В самом деле, если , то , а это и означает возрастание функции.

4) На промежутке (- ; 0] функция убывает.

В самом доле, если ,то — х₁ > — х₂ > 0, а потому

(-х₁)²> (- х₂)², т. е. , а это и означает убывание функции.

Графиком функции y=х² является парабола. Этот график изображен на рисунке II.2.

Рис. II.2.

При n = 3 полу­чаем функцию у = х³, ее свойства:

Область определения функции — вся числовая прямая.

y = х³ — нечетная функция (f (- х) = (- x)² = - х³ = - f (x)).

3) Функция y = x³ возрастает на всей числовой прямой. График функции y = x³ изображен на рисунке. Он на­зывается кубической параболой.

График (кубическая парабола) изображен на рисунке II.3.

Рис. II.3.

Пусть n— произвольное четное натуральное число, большее двух:

n = 4, 6, 8,.... В этом случае функция у = хⁿ обладает теми же свойствами, что и функция у = х². График такой функ­ции напоминает параболу у = х², только ветви графика при |n| >1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при тем «теснее прижимаются» к оси х, чем больше n.

Пусть n — произвольное нечетное число, большее трех: n = = 5, 7, 9,.... В этом случае функция у = хⁿ обладает теми же свойствами, что и функция у = х³. График такой функции на­поминает кубическую параболу (только ветви графика тем круче идут вверх, вниз, чем больше n. Отметим также, что на промежутке (0; 1) график степенной функции у = хⁿ тем медленнее отдаляется от оси х с ростом х, чем больше n.

Степенная функция с целым отрицательным показа­телем. Рассмотрим функцию у = х^-n, где n — натуральное чис­ло. При n = 1 получаем у = х^-n или у = Свойства этой функции:

График (гипербола) изоб­ражен на рисунке II.4.