Проверка статистической гипотезы о равенстве средних



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Проверка статистической гипотезы о равенстве средних



Пусть и - две случайные величины, распределённые обе по нормальному закону с неизвестными математическими ожиданиями и известными дисперсиями и соответственно. Процедуры и выводы этого раздела можно применять и в тех случаях, когда случайные величины и , оставаясь независимыми, распределены не точно по нормальному закону, но близко к нему.

По независимым выборкам из и , объёмы которых равны соответственно и , определены выборочные средние и .

Требуется по выборочным средним при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что математические ожидания генеральных совокупностей и являются равными:

- нулевая гипотеза;

, или - альтернативные гипотезы.

Как известно, выборочные средние являются несмещёнными оценками генеральных средних или математических ожиданий, т.е. и , где и - это случайные величины, являющиеся выборочными средними для и соответственно. Тогда можно переформулировать нулевую и альтернативную гипотезы уже для средних:

- нулевая гипотеза;

, или - альтернативные гипотезы.

В качестве статистического критерия для проверки этих гипотез можно использовать случайную величину - - оценку следующего вида:

.

 

Тогда можно доказать, что

 

Для доказательства преобразуем . Но выборочная дисперсия может быть выражена через дисперсию генеральной совокупности: Аналогично: . Следовательно, . Тогда статистический критерий и принимает вид:

Этот статистический критерий имеет стандартное нормальное распределение. Критическая область этого критерия определяется в зависимости от альтернативной гипотезы.

Случай 1. Альтернативная гипотеза представлена двусторонним неравенством (двусторонняя гипотеза).

Пусть уровень значимости равен . По таблицам или, например, в Excel необходимо определить значение - границу критической области. Это значение аргумента, при котором стандартная нормальная величина принимает значение .

Критическая область для такой альтернативной гипотезы будет задаваться неравенством: . Если это неравенство выполняется, нет оснований принимать нулевую гипотезу, т.е. она должна быть отклонена, поскольку значение статистического критерия попадает в критическую область.

Случай 2. Альтернативная гипотеза представлена односторонним неравенством (односторонняя гипотеза).

Пусть уровень значимости равен . По таблицам или, например, в Excel необходимо определить значение - границу критической области. Это значение аргумента, при котором стандартная нормальная величина принимает значение .

Критическая область для такой альтернативной гипотезы будет задаваться неравенством: . Если это неравенство выполняется, нет оснований принимать нулевую гипотезу, т.е. она должна быть отклонена, поскольку значение статистического критерия попадает в критическую область.

Случай 3. Альтернативная гипотеза представлена односторонним неравенством (односторонняя гипотеза).

Пусть уровень значимости равен . По таблицам или, например, в Excel необходимо определить значение - границу критической области. Это значение аргумента, при котором стандартная нормальная величина принимает значение .

Критическая область для такой альтернативной гипотезы будет задаваться неравенством: . Если это неравенство выполняется, нет оснований принимать нулевую гипотезу, т.е. она должна быть отклонена, поскольку значение статистического критерия попадает в критическую область.

Если дисперсии генеральных совокупностей и неизвестны, то применить указанный в этом разделе статистический критерий невозможно. Более того, точного решения этой задачи при неравных дисперсиях генеральных совокупностей, что чаще всего и бывает, до настоящего времени нет. На практике используются различные приближения.

Одно их таких приближений такое. Можно доказать, что в случае объёмов выборок из и не менее 30 элементов каждая, выборочные средние распределены близко к нормальному закону, а выборочные дисперсии являются хорошими оценками генеральных дисперсий. Поэтому в случае больших выборок неизвестные дисперсии генеральных совокупностей и можно заменить их несмещёнными оценками с помощью выборочных дисперсий. Тогда для проверки той же самой нулевой гипотезы можно использовать такой статистический критерий:

, где и - это несмещённые выборочные оценки дисперсии генеральных совокупностей и соответственно:

и

 

Дальнейшая процедура проверки статистической гипотезы не меняется, она полностью повторяет ту, которая была описана для случая известных дисперсий генеральных совокупностей.

Пример. Была измерена скорость чтения у детей. До обучения чтению по некоторой методике средняя скорость чтения составляла 100 слов в минуту со стандартным отклонением 12 для 100 обследованных детей. После обучения чтению по этой методике только 81 ребенка их скорость чтения в среднем составила 130 слов в минуту при стандартном отклонении 14. Можно ли на основании применения того или иного статистического критерия утверждать, есть эффект обучения детей чтению или нет?

Нулевой гипотезой будем считать отсутствие существенных различий в скоростях чтения до и после обучения, а альтернативной гипотезой – наличие таких отличий. Таким образом, мы проверяем двустороннюю гипотезу.

В данном случае можно применить критерий сравнения средних по Z-оценке, т.е. считая, что данные имеют близкие к нормальным распределения и до обучения, и после обучения чтению. В этом случае: распределение X – это распределение скоростей чтения до обучения, распределение Y – это распределение скоростей чтения после обучения по методике, – это средняя скорость чтения до обучения, – это средняя скорость чтения после обучения по методике, – это дисперсия распределения X, – это дисперсия распределения Y, – это размер выборки до обучения чтению, а – это размер выборки после обучения чтению по методике.

Вычисляем значение статистического критерия . По таблицам или с помощью функции =НОРМСТОБР в Microsoft Excel вычисляем критические значения для этого критерия на уровнях значимости 0,95 и 0,99. Получаются, соответственно, критические значения 1,6449 и 2,3263. Значение статистического критерия, вычисленного для сравнения скоростей чтения до и после обучения по модулю существенно больше и одного и другого критического значения. Следовательно, наше значение статистического критерия, показывающее различия в скоростях чтения, лежит вне области допустимых значения критерия. Поэтому нулевая гипотеза должна быть отвергнута на обоих уровнях значимости, что означает статистическое подтверждение наличия эффекта обучения чтению по применённой методике обучения.



Последнее изменение этой страницы: 2017-01-20; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.233.219.62 (0.006 с.)