Особливості методу вагових функцій

 

Синтез нерекурсивних цифрових фільтрів (НРЦФ або КІХ-фільтрів) може бути виконаний за заданою ідеалізованою частотною характеристикою фільтру H_d(jω) з нульовим запізнюванням і допустимими похибками її апроксимації.

Враховуючи, що частотна характеристика і імпульсна характеристика пов'язані парою перетворень Фур'є, за допомогою зворотного перетворення Фур'є може бути знайдена імпульсна характеристика h_d(n), яка відповідає заданій частотній характеристиці, що ідеалізується:

 

.

(3.4)

 

Проте імпульсна характеристика ідеального фільтру має нескінченну довжину і не відповідає умові фізичної реалізованості:

 

при n < 0 hd (n) ≠ 0 - відгук фільтру випереджає вхідну дію.

 

Тому вона не може бути безпосередньо використана в якості імпульсної характеристики НРЦФ.

Наприклад, для цифрового ФНЧ (рис. 2) в основній смузі частот ± ω_д/2

 

 

Аналітичні описи імпульсних характеристик інших типів ідеальних ЦФ приведені в п. 2.3.4.

Рис. 2. Імпульсна характеристика ідеального ФНЧ

 

Отримати на основі імпульсної характеристики (3.4) КІХ-фільтр, що фізично реалізовується, з частотною характеристикою, близькою до заданої, можна шляхом зрушення hd (n) вправо на (N - 1) /2 відліків і усікання її за межами n < 0 і n ≥ N. При цьому частотна характеристика фільтру апроксимується усіченим рядом Фур'є з коефіцієнтами h_d[n - (N - 1) /2]:

 

.

(3.5)

 

Відомо, що просте усікання ряду Фур'є супроводжується коливаннями Гіббса, що виникають при апроксимації розривних функцій.

Для поліпшення якості апроксимації в методі вагових функцій імпульсну характеристику НРЦФ конструюють обмеженням довжини імпульсної характеристики h_d[n - (N - 1) /2] за допомогою спеціальних вагових функцій або вікон w(n) кінцевої довжини N:

 

.

(3.6)

 

Наприклад, просте усікання еквівалентно множенню на прямокутну вагову функцію w_R (n) =1, n=0,...N - 1.

Отриманій таким чином імпульсній характеристиці відповідає частотна характеристика фільтру

,

(3.7)

що визначається згорткою в частотній області заданої частотної характеристики H_d (jω) з частотною характеристикою (Фур'є−образом) вагової функції W (jω):

,

де * - символ згортки, θ - змінна інтеграції, – частотна характеристика вагової функції.

Ці перетворення в часовій і частотній області ілюструються графіками рис. 3, що досить наочно відбивають вплив вагового усікання на якість апроксимації заданої частотної характеристики усіченим рядом Фур'є.

Частотна характеристика вагової функції на рис. 3 має головну пелюстку шириною ∆ω_гл і бічні пелюстки, рівень яких характеризується максимальним по модулю значенням δ_бл.max і площею під бічними пелюстками. Згортка в частотній області здійснюється графічно шляхом зміщення по частоті в межах ± ω_д/2 дзеркально відображеної частотної характеристики вагової функції і обчислення площі перекриття її із заданою частотною характеристикою H_d(jω).

Рис. 3. Графічна ілюстрація синтезу НРЦФ методом вагових функцій (ідеальний ФНЧ і прямокутна вагова функція)

 

З рисунка виходить, що перехідна смуга частотної характеристики фільтру H (jω) визначається шириною головної пелюстки частотної характеристики вагової функції: , а похибки апроксимації (пульсації) в смузі пропускання і затримки δ₁, δ₂ пов'язані з рівнем її бічних пелюсток. Це визначає вимоги до вагової функції, яка повинна мати:

· мінімальну ширину головної пелюстки ∆ω_гл;

· мінімальний рівень бічних пелюсток δ_бл.max і мінімальну площу під бічними пелюстками;

· мінімальну довжину N.

 

Вимоги ці досить суперечливі. Так, гладші вагові функції мають менший рівень бічних пелюсток, але велику ширину головної пелюстки, що зменшується зі збільшенням довжини вагової функції N. Цим пояснюється різноманіття використовуваних на практиці типів вагових функцій.

Слід зазначити, що метод вагових функцій забезпечує строгу лінійність ФЧХ і постійність групового часу запізнювання фільтру зважаючи на парну або непарну симетрію отримуваною цим методом імпульсної характеристики:

h (n) =h (N − 1 − n).