Особливості розрахунку методом частотної вибірки

У методі частотної вибірки імпульсна характеристика фільтру h (n) N знаходиться шляхом дискретизації по частоті заданої частотної характеристики Hd (j ω) і обчислення її зворотного дискретного перетворення Фур'є (ЗДПФ).

Дискретизація частотної характеристики Hd (j (ω) по частоті здійснюється в смузі 0... ω_д шляхом переходу від безперервних значень частоти ω до дискретних: _ωk=∆ω (k, де k=0, 1,..., N − 1; ∆ω₌ωд/N − крок дискретизації; k − номер частотної вибірки; N − число точок дискретизації.

 

Крок дискретизації по частоті ∆ ω вибирається з умови ∆ω≤∆ω_пер/ (L+1), де L− цілі числа, L = 0, 1, 2,...; ∆ω_пер − перехідна смуга фільтру.

В результаті виходить дискретизована частотна характеристика фільтру (ДЧХ) (рис. 3.4). Оскільки задана частотна характеристика відповідає фільтру, що фізично не реалізовується, з нульовим запізнюванням, то для ЦФ із сходинкоподібними АЧХ дискретизована частотна характеристика ототожнюється далі з їх дискретизованою АЧХ.

Дискретизація частотної характеристики на рис. 4 виконана з кроком ∆ω=∆ω_пер/2 (L=1).

Рис. 4. Дискретизованао ЧХ цифрового фільтру нижніх частот

 

ДЧХ має значення, рівні в смузі пропускання 1 (Hd (j ω_k)=1), в смузі затримки − нулю (Hd (j ω_k)=0) і в перехідній смузі, - деяким проміжним варійованим (оптимізованим) значенням Hd (j (ω_k) = H1 = var, від яких залежить якість апроксимації заданої частотної характеристики.

ДЧХ Hd (j ω_k) можна поставити у відповідність деяку імпульсну характеристику hp (n), визначувану за допомогою зворотного дискретного перетворення Фур'є (ЗДПФ):

.

Отримана імпульсна характеристика (рис. 3.5.а) є періодичною з періодом Np=N, оскільки дискретизації в частотній області відповідає періодизація в часовій області.

В якості імпульсної характеристики що синтезується методом частотної вибірки НРЦФ вибирається один період імпульсної характеристики hp (n), зрушений управо на (N − 1) /2 відліків (для забезпечення фізичної, що реалізовується) і усічений прямокутною ваговою функцією (для отримання КІХ-фільтру) (рис. 3.5.б):

.

 

а)

б)

Рис. 5. Імпульсна характеристика, відповідна ДЧХ (а) і імпульсна характеристика НРЦФ, синтезованого методом частотної вибірки (б)

 

За імпульсною характеристикою h (n) знаходиться частотна характеристика фільтру H (j ω), що апроксимує задану Hd (j ω):

АЧХ фільтру на частотах ω=ωk: H (ωk) =Hd (ωk) точно співпадає з частотними вибірками ДЧХ, а на частотах ω≠ωk H (ω) ≠Hd (ω) − відрізняється від заданої на величину похибки апроксимації. ФЧХ фільтру строго лінійна внаслідок симетрії імпульсної характеристики.

Якість апроксимації в цьому методі залежить від числа вибірок частотної характеристики в перехідній смузі L і їх значень H_i._{опт (}i=1,2,...,L), що роблять функцію, що апроксимується, гладшою.

Різним значенням L відповідають наступні зразкові значення максимального рівня бічних пелюсток:

L = 0: δ_2мах ≈ − 20 дБ;

L = 1: δ_2мах ≈ − 40 дБ;

L = 2: δ_2мах ≈ − (50 − 60) дБ;

L = 3: δ_2мах ≈ − (80 − 100) дБ.

Реально методом частотної вибірки можна синтезувати НРЦФ з мінімальним згасанням в смузі затримання до (90 − 120) дБ.

Таким чином, оптимізація фільтру полягає у виборі L − числа вибірок в перехідній смузі і пошуку їх оптимальних значень Hi._опт, що мінімізують похибки апроксимації. Очевидно, що зі збільшенням числа варійованих вибірок істотно ускладнюється процедура оптимізації. Вона досить ефективно реалізується на ЕОМ методом лінійного програмування.