Вибір вагової функції і порядок розрахунку

У таблиці. 1 приведені використовувані при синтезі ЦФ параметри вагових функцій: прямокутною, трикутною, Ханна, Хемінга і Блекмана.

Окрім значень ширини головної пелюстки ∆ω_гл = D (ω_д/N, де D − так званий D-фактор, і максимального рівня бічних пелюсток δ_бл.max вони включають також оціночні значення похибки апроксимації частотної характеристики в смузі затримання (максимальні пульсації частотної характеристики) |δ_2max|, дБ, розраховані для цифрового ФНЧ з частотою зрізу . Такі ж похибки мають місце і при синтезі ФВЧ.

Для ЦФ з двома і більше частотами зрізу (СПФ, ПЗФ, БСФ) залежно від конкретних даних погрішність апроксимації може бути більше її оцінного значення, але не більше ніж 6 дБ.

Таблиця 3.1

Тип	∆ωгл=D ωд/N	δбл.max, дБ	δ2max, дБ
Прямокутна	2×ωд/N	−13,6	−21
Трикутна	4×ωд/N	−27	−26
Ханна	4×ωд/N	−31	−44
Хемінга	4×ωд/N	−41	−53
Блекмана	6×ωд/N	−57	−74

 

Крок 1. Керуючись цими таблиці 3.1, по необхідному згасанню частотної характеристики в смузі затримання А_з можна зробити вибір типу вагової функції.

 

Крок 2. Для вибраної вагової функції і заданої перехідної смуги частотної характеристики фільтру відповідно до наближеного співвідношення ∆fгл_{=∆fпер=D (fд/}N знаходиться необхідна довжина вагової функції і визначувана нею довжина імпульсної характеристики фільтру:

,

де D - коефіцієнт, залежний від типу вагової функції (D- фактор).

Значення N прирівнюється найближчому цілому числу, зазвичай непарному.

 

Крок 3. В якості частот зрізу заданої частотної характеристики використовують їх розрахункові значенняFзр2р, зміщені в смугу затримання приблизно на половину перехідної смуги фільтру ∆fпер. Це пов'язано з властивим цьому методу розмиванням меж переходу від смуги пропускання фільтру до смуги затримання (рис. 3.3). Наприклад, для СФ:

; .

Крок 4. Знаходиться імпульсна характеристика фільтру шляхом вагового усікання зміщеної управо на (N − 1) /2 відліків імпульсної характеристики hd (m):

.

 

Крок 5. Розраховується АЧХ фільтру.

і перевіряється її відповідність початковим даним по нерівномірності частотної характеристики в смузі пропускання Aп і згасанню в смузі затримання Aз.

 

Крок 6. Оскільки цей метод не забезпечує точної відповідності початкових і розрахункових даних (є ітераційним), при необхідності коригуються значення розрахункових частот зрізу Fзр_1р, Fзр_2р і довжини фільтру N і розрахунки повторюються.

 

Види вагових функцій

Проста вагова функція - прямокутна − має мінімальну ширину головної пелюстки і максимальний рівень бічних пелюсток.

wR (n) = 1, n = 0,.N - 1.

(3.8)

Трикутна вагова функція є згорткой двох прямокутних вагових функцій завдовжки N/2:

(3.9)

У неї удвічі більша ширина головної пелюстки при досить великому рівні бічних пелюсток.

Бічні пелюстки її мають ширину ∆ω_бл=2 (_{ωд/N або ∆λбл=}4 (π/N.

Узагальнена вагова функція Хемінга описується вираженням

.

(3.10)

При α=0.5 вона відповідає ваговій функції Ханна, при α=0.54 - ваговій функції Хемінга.

Рівень бічних пелюсток вагової функції Хемінга виявляється прийнятним для багатьох застосувань НРЦФ.

Бічні пелюстки частотної характеристики мають ширину ∆ω_бл=ω_д/N або ∆λ_бл=2 (π/N. Площа під бічними пелюстками складає 0.04 % від площі квадрата частотної характеристики вагової функції.

 

Вагова функція Блекмана має вигляд

.

(3.11)

 

В порівнянні з ваговою функцією Хемінга у неї ширша головна пелюстка (у 1.5 рази) при дуже малому рівні бічних пелюсток.

Ширина бічних пелюсток цієї вагової функції ∆ω_бл = ω_д/N або ∆λ_бл=2 (π/N.

При синтезі НРЦФ використовуються також ефективні вагові функції Ланцоша, Дольфа-Чебишева, Каппелині, та ін. [7, 8], серед яких особливе значення має клас вагових функцій або вікон Кайзера.

 

Вагові функції Кайзера.

На відміну від інших вагових функцій, що характеризуються постійними значеннями рівня бічних пелюсток δ_бл.max і відношення (D- фактор) у вагових функцій Кайзера ці параметри можуть широко варіюватися за допомогою коефіцієнта β, того, що входить в математичний вираз цієї функції:

 

,

(3.12)

де I₀(x) − функція Бесселя нульового порядку.

 

Завдяки цьому забезпечується найкраща для цього методу синтезу якість апроксимації заданої частотної характеристики або найменший порядок фільтру при заданій якості апроксимації.

Кайзером шляхом чисельної інтеграції згортки складена таблиця (таблиця. 2) і отримані емпіричні формули, які дозволяють безпосередньо по заданому згасанню Аз=|δ_2max| (дБ) частотної характеристики H (jω), що апроксимує ідеальний ФНЧ, вибрати або розрахувати значення D- фактора і коефіцієнти β[5]:

По обчисленому або взятому з таблиці значенню D визначається необхідний порядок фільтру N≈D (fд/∆_fпер, який округляється потім до найближчого більшого непарного числа.

Як і для інших вагових функцій, у разі апроксимації ідеальних фільтрів типу СПФ, ПЗФ, БСФ згасання частотної характеристики в смузі затримання може бути менше його табличного значення, але не більше ніж на 6 дБ.

 

Таблиця 3.2

Aз, дБ	β	D	Аз, дБ	β	D
	1.333	1.187		6.204	3.973
	2.117	1.536		6.755	4.321
	2.783	1.884		7.306	4.669
	3.395	2.232		7.857	5.017
	3.975	2.580		8.408	5.366
	4.551	2.928		8.959	5.714
	5.102	3.261		9.501	6.062
	5.653	3.625		10.061	6.410

 

У таблиці 3.3 приведені також розрахункові значення рівня пульсацій частотної характеристики в смузі пропускання, згасання, що відповідають різним значенням, в смузі затримання [5].

Таблиця 3.3

Aз, дБ	1 ±δ1max, дБ	Aз, дБ	1 ±δ1max, дБ
	±0.27		±0.0027
	±0.086		±0.00086
	±0.027		±0.00027
	±0.0086		±0.000086