Термодинамика газового потока

4.1. Уравнения и параметры движущегося газа

В рассмотренных выше процессах не учитывалась кинетическая энергия рабочего тела. Однако в теплотехнике широко распространены энергетические установки, в которых преобразование энергии осуществляется в движущемся газе. Такие процессы происходят в турбинах, реактивных двигателях, лопаточных и струйных компрессорах и т.п.

Рассмотрим уравнения термодинамики для стационарного одномерного потока идеального газа.

Для газового потока в любом сечении справедливо уравнение состояния, записанное через плотность:

p = ρRT, (4.1)

где p – давление в рассматриваемом сечении;

ρ – плотность газа в этом сечении;

R – газовая постоянная;

T – термодинамическая температура (температура, которую покажет в данном сечении безинерционный термометр, перемещающийся со скоро-стью газового потока).

В термодинамике величину скорости потока газа обозначают с и измеряют в м/с. Часто с целью количественной оценки величины скорости потока ее сравнивают со скоростью распространения слабых возмущений в среде газа. При выведении газа из равновесия в каком-либо месте в нем возникает движение частиц. Эти возмущения передаются по всему газу (подвижному и неподвижному) с так называемой с к о р о с т ь ю з в у к а. Скорость звука обозначается a, измеряется в м/с и вычисляется поизвестной из физики формуле:

. (4.2)

Если c < , то поток дозвуковой, при c> – сверхзвуковой.

 

4.1.1. Уравнение энергии

В движущемся газе выделим сечениями 1-1 и 2-2, Рис. 4.1, участок потока.

Рис.4.1

На основании первого закона термодинамики для энергоизолирован- ного потока (данная система не обменивается теплотой и работой с окружающей средой) можем записать Е₁ = Е₂. Отсюда для m = 1кг газа уравнение (1.7) в сечениях потока будет иметь вид:

= .

Это означает, что для любого сечения потока газа сумма энтальпии и кинетической энергии одинакова, т.е.

. (4.3)

Выражение (4.3) называют у р а в н е н и е м э н е р г и и потока газа. Из него следует, что изменить скорость газа в потоке можно лишь только за счет изменения энтальпии.

Уравнение энергии можно записать в другом виде. Продифференцируем выражение (4.3) и получим: cdc = - di. Из первого закона термодинамики, записанного в виде dq = di -vdp, при dq = 0 следует, что di = vdp. Тогда

c dc = - v dp. (4.4)

Выражение (4.4) приписывают Д. Бернулли, поэтому в технической литературе его называют у р а в н е н и е м Б е р н у л л и.

Это уравнение устанавливает связь скорости с давлением. Из него следует, что для увеличения скорости (dc > 0) необходимо снижение давления (dp < 0) и наоборот.

 

4.1.2. Параметры торможения

Если на пути движущегося газа поставить преграду, то в сечении, где поток полностью затормозится (c = 0), параметры газа называют п а р а -

м е т р а м и т о р м о ж е н и я. Их обозначают p₀, T₀ , ρ₀. Для замкнутого объема с неподвижным газом, параметры газа соответствуют параметрам торможения.

Определим параметры торможения движущегося газа. Для этого запишем уравнение энергии для двух сечений: в одном газ движется со скоростью c, а в другом – поток заторможен:

i + .

Выразим энтальпию газа через теплоемкость и температуру:

.

Из этого выражения определим температуру торможения:

,

Так как и , то:

,

где – "местная" скорость звука (в сечении с температурой T).

Отношение обозначают через М_а и именуют числом Маха.

В окончательном виде формула температуры торможения имеет вид:

. (4.5)

Используя адиабатную связь между температурой и давлением, получим формулу для давления торможения:

. (4.6)

Плотность ρ₀ определяется по p₀ и T₀ из уравнения (4.1).

 

4.1.3. Уравнение скорости движения газа

Уравнение скорости движения газа в произвольном сечении потока получим из уравнения энергии. Пусть газ вытекает из емкости, где его скорость была равна нулю. Тогда уравнение энергии для произвольного сечения потока газа и для сечения, где c = 0, будет иметь вид:

.

Отсюда

c = = .

Если отношение температур заменить отношением давлений, то

 

c= . (4.7)

Из выражения (4.7) следует, что величина скорости газа в рассматриваемом сечении потока зависит от природы газа, от параметров в его исходном (заторможенном) состоянии и от давления газа в рассматриваемом сечении.

4.1.4. Уравнение расхода

Термодинамика газового потока в основном рассматривает стационарное движение газа. Это означает, что через все сечения канала в любой момент времени протекает одно и то же массовое количество газа. Обозначается секундный массовый расход , который измеряется в кг/с. Уравнение для вычисления секундного массового расхода выводится в дисциплине “Газовая динамика”. Оно имеет вид:

. (4.8)

Выразим секундный массовый расход через параметры заторможенного газового потока, для чего в выражение (4.8) вместо c подставим его значение (4.7), а плотность представим в виде

.

Тогда

(4.9)

 

4.2. Течение газа в каналах

4.2.1. Уравнение обращения воздействия

Каналы, в которых газовый поток увеличивает свою скорость, называются с о п л а м и. Каналы, скорость в которых уменьшается, именуют д и ф -ф у з о р а м и. Геометрическая форма сопел может быть различной. Это зависит от того, каково внешнее воздействие на газовый поток.

В 1948 г. А.А. Вулис получил зависимость, выражающую связь геометрии сопла с характером внешнего воздействия на поток. Для неэнергоизолированного движения газа зависимость Вулиса имеет вид:

. (4.10)

Здесь первое слагаемое правой части уравнения выражает г е о м е т-

р и ч е с к о е в о з д е й с т в и е на движущийся газ, второе – м а с с о в о е, третье – т е п л о в о е и четвертое – м е х а н и ч е с к о е. Уравнение (4.10) является математическим выражением принципа обращения воздействия, суть которого состоит в том, что характер влияния каждого воздействия на газовый поток противоположен при сверхзвуковых и дозвуковых течениях газа.

Проанализируем лишь геометрическое воздействие. В этом случае из уравнения (4.10) следует:

. (4.11)

При дозвуковом течении газа (М_a < 1) знаки у величин dc/c и dF/F

противоположны. Это значит, что в сужающемся канале, где dF < 0, газ будет разгоняться, т.е. dc > 0, а в расширяющемся, где dF > 0, – тормозиться, т.е. dc< 0.

При сверхзвуковом потоке газа (M >1) знаки у величин dc/c и dF/F одинаковые. Следовательно, для увеличения скорости необходим расширяющий канал, а для торможения - сужающийся.

Таким образом, канал для разгона газового потока до сверхзвуковой скорости должен быть сужающе-расширяющимся и иметь вид, представленный на рис. 4.2. Впервые канал такой формы предложил шведский инженер Лаваль, в его честь такие каналы именуют соплами Лаваля.

Рис. 4.2

4.2.2 Течение газа в соплах Лаваля

При движении газа вдоль сверхзвукового геометрического сопла своеобразно изменяются его параметры. Для выявления характера изменения давления по длине сопла из уравнений (4.4) и (4.11) можно получит выражение:

Из анализа данного уравнения следует, что давление вдоль сопла уменьшается. Кривая давления в дозвуковой части сопла имеет выпуклый вид, а в сверхзвуковой – вогнутый. Температура вдоль сопла уменьшается, так как процесс расширения газа адиабатный. С такой же закономерностью уменьшается по длине сопла и скорость звука.

Характер изменения скорости вдоль сопла устанавливается уравнением Бернулли (4.4), записанным в виде:

.

В сужающейся части сопла это вогнутая кривая. а в расширяющейся – выпуклая, асимптотически приближающаяся к максимально возможной скорости при р = 0. Качественные изменения давления, температуры, скорости звука и скорости потока по длине геометрического сопла представлены на рис.4.3.Характерным для канала такой формы является участок перехода дозвукового течения в сверхзвуковой.

Сечение канала, в котором скорость потока достигает величины, равной местной скорости звука, называют к р и т и ч е с к и м.

Параметры газа в критическом сечении обозначают: с_кр, р_кр, Т_кр, ρ_кр, , и т.д.

Получим выражение для р_кр и Т_кр через параметры торможения. В критическом сечении , следовательно:

После незначительных преобра –

зований получим:

. (4.12)

Если обозначить:

,

то

р_кр = р₀ β_кр.

Величина β определяется только

значением показателя адиабаты к. Рис. 4.3

Так, для воздуха при к = 1,4 значение β_кр = 0,528. Отсюда следует, что для воздуха критическое давление меньше давления торможения в 1,89 раза.

Значение критической температуры получим из выражения (4.12), заменив отношение давлений отношением температур:

Т_кр= Т₀ (4.13)

Теперь выражение для критической скорости можно представить в другом виде:

с_кр = . (4.14)

Скорость газа в каждом сечении сопла и на выходе из него вычисляется по формуле (4.7).

Если секундный массовый расход выразить через параметры торможения и площадь критического сечения, то зависимость (4.9) существенно упрощается:

. (4.15)

.

Если давление газа в выходном сечении сопла равно давлению окружающей среды (), то сопло работает на расчетном режиме; при p_a >p_h газ на выходе из сопла недорасширяется. Возможны режимы работы сопел, когда давление на выходе в потоке незначительно меньше давления окружающей среды (p_a<p_h), в этом случае происходит перерасширение газа.

 

4.2.3. Дросселирование газа и пара

Д р о с с е л и р о в а н и е м называют процесс понижения давления в газовом потоке при преодолении местного сопротивления в канале.

При дросселировании газа или пара протекает необратимый процесс снижения давления без совершения внешней работы. Если в канале имеется местное сопротивление в виде резкого сужения вида перегородки с отверстием, задвижки, клапана и т.п., то газовый поток перестраивает свою геометрическую форму, как до сужения, так и после него. Перестройка формы потока и перетекание через само сужение связано с образованием вихревых движений газа. Часть кинетической энергии потока идет на образование вихрей, часть – на преодоление сопротивления трения. Затраченная на это энергия необратимо превращается в теплоту, которая воспринимается газом. Поэтому давление после местного сопротивления не восстанавливается до первоначального. Изменение давления, скорости и температуры по длине канала приведено на рис.4.4. Скорость газа при протекании его через сужение возрастает, что вызывает снижение давления и температуры. После сужения скорость понижается, но давление, вследствие указанных причин, не восстанавливается до первоначального.

Степень снижения давления газа при дросселировании зависит от природы газа и его состояния, относительной величины сужения, скорости газа. Обозначим степень снижения давления через ; тогда ее величина будет равна:

,

где ∆р – величина снижения давления;

р – давление на входе в сужение.

В энергетических установках дросселирование нежелательно, т.к. при падении давления снижаются энергетические возможности газа. Но иногда дросселирование является необходимым и создается искусственно, например, в редукторах, регуляторах и т.п.

При термодинамическом анализе особенностей процесса дросселирования целесообразно использовать общее уравнение энергии:

В канале можно обеспечить с₁ = с₂, тогда i₁ =i₂. Из чего следует, что энта-

льпия газа в процессе дросселирования

остается постоянной. Рис. 4.4

Этот вывод справедлив как для идеальных, так и для реальных газов. При дросселирования идеального газа Т₁ = Т₂, поскольку i₁ = i₂. Это значит, что для идеального газа температура после дросселирования равна температуре на входе в дроссель.

Для реального газа изменение температуры при его дросселировании в отличие от идеального газа имеет своеобразный характер. Как показывают опыты, температура реального газа в результате дросселирования повышается, понижается или не изменяется. Это свойство впервые обнаружили ученые Д. Джоуль и У. Томсон, поэтому оно носит название э ф ф е к т а Д ж о у л я-Т о м с о н а.

Используя дифференциальные уравнения, связывающие i, s, ρ и T, можно получить для газа, подчиняющегося уравнению Ван-дер-Ваальса, следующую зависимость:

(4.16)

Отношение бесконечно малого изменения температуры к бесконечно малому изменению давления при дросселировании называется д р о с с е л ь - э ф ф е к т о м и обозначается

α =

Так как при дросселировании dp < 0, а c_p – величина положительная, то знак α будет зависеть от знака числителя выражения (4.16).

При этом возможны три случая:

а) < 0 (при T < ), тогда α > 0, т.е. dT < 0;

б) > 0 (при T > ), тогда α < 0, т.е. dT > 0;

в) = 0 (при T = ), тогда α = 0, т.е. dT = 0.

Изменение знака дроссель - эффекта α называется и н в е р с и е й,

а температура, при которой dT = 0, называется т е м п е р а т у о й и н в е р с и и и обозначается T_инв.

(4.17)

Рис. 4.4

Понятие температуры инверсии особенно широко используется в холодильной и криогенной технике.

Каждый конкретный газ имеет индивидуальную температуру инверсии. Так, например, для воздуха Т_инв = 650 К; для водорода Т_инв = 204 К; для водяного пара Т_инв= 682 К.

Для установления температуры реального газа после дросселя необходимо сравнить T_вх с T_инв.Если температура газа на входе в дроссель равна его температуре инверсии, то после дросселя она восстановится до прежнего значения. При T_вх< T_инв температура газа после дросселя уменьшится, а. при T_вх> T_инв - она возрастет. Характер изменения температуры при дросселировании

 

Глава 5

Циклы тепловых машин

Главной задачей технической термодинамики является установление эффективности взаимного преобразования теплоты и работы в тепловых машинах.

Под тепловыми машинами понимают технические устройства, в которых преобразование различных видов энергии связано с формами энергообмена - теплотой и работой.

Многообразен круг тепловых машин, созданных человеком: это ядерные силовые установки, двигатели внутреннего и внешнего сгорания, холодильные машины и т.д. Безусловно, вопрос экономичности преобразования энергии при создании любой тепловой машины всегда был, есть и будет первоочередным. Эффективность взаимного превращения теплоты и работы в тепловых машинах можно оценить, анализируя их циклы. Напомним, что цикл - это совокупность термодинамических процессов, в результате осуществления которых происходит взаимное преобразование теплоты и работы, а рабочее тело возвращается в исходное состояние.

Прежде всего, рассмотрим циклы некоторых тепловых двигателей.

С термодинамической точки зрения тепловой двигатель представляет собой тепловую машину, в которой часть теплоты, подведенной к рабочему телу, преобразуется в полезную работу. Создано большое разнообразие тепловых двигателей. Их различают по многим признакам.:

1) по источнику энергии: химические, ядерные, электрические;

2) по месту преобразования химической энергии топлива в теплоту (двигатели внутреннего сгорания и двигатели внешнего сгорания);

3) по виду рабочего тела: паровые, газовые, плазменные;

4) по конструкции расширительной машины: поршневые, турбинные, реактивные;

5) по области применения: стационарные, автомобильные, авиационные, ракетные и др.

 

Цикл Карно

Наиболее экономичным циклом тепловых двигателей является идеальный цикл Карно.

В 1824 г. С. Карно опубликовал фундаментальный труд по теории теплотехники ²Размышления о движущейся силе огня и машинах, способных развивать эту силу², в котором был рассмотрен абстрактный тепловой двигатель с простейшим идеальным циклом, состоящим из обратимых процессов.

 

В цикле Карно теплота к рабочему телу подводится в изотермическом процессе AB, рис.5.1. Далее работа расширения совершается за счет уменьшения внутренней энергии рабочего тела в адиабатном процессе – BC. Отвод теплоты в теплоприемник производится в изотермическом процессе сжатия CD. Цикл замыкается адиабатой сжатия DA.

Таким образом, за весь цикл рабочему телу от теплоисточника сообщена теплота q₁ и отведена в теплоприемник теплота q₂.Запишем термический КПД этого цикла: .

Рис. 5.1

. Выразим q₁ и q₂ через параметры изотермического процесса:

q₁ = RT₁ ln и q₂ = RT₂ ln .

Подставим их значения в КПД, получим:

.

В адиабатных процессах цикла выразим температуры через удельные объемы

,

Откуда v_B/v_C = v_A/v_D или v_B/v_A = v_C/v_D.

В итоге, после сокращения уравнение термического КПД цикла Карно имеет вид:

(5.1)

Анализ выражения (5.1) показывает, что термический КПД обратимого цикла Карно:

– зависит только от абсолютных температур теплоисточника и теплоприемника (он будет тем больше, чем выше температура теплоисточника и чем ниже температура теплоприемника);

– всегда меньше единицы, так как для получения = 1 необходимо иметь T₂ = 0 или T₁ = ∞, что неосуществимо;

–-не зависит от природы рабочего тела и при T₁ = T₂ равен нулю, т.е. если тела находятся в тепловом равновесии, то от них невозможно получить работу;

– имеет наибольшее значение по сравнению с КПД любого цикла, осуществляемого в одном и том же интервале температур.

Последнее можно показать, используя координаты Ts. Любой произвольный цикл (пусть это будет цикл 1-2-3-4 на рис.5.2) можно впи-

сать в цикл Карно ABCD. Хотя значения максимальных и минимальных температур у этих циклов одинаковы, КПД произвольного цикла меньше, потому что полезноиспользуемая теплота

q_{ц 12341} < q_{ц ABCD}, а отведенная теплота q_{2 а143b} > q_{1 aDCb}.

Цикл Карно не применяется в реальных тепловых двигателях. И не только потому, что реальные процессы необратимы. Оказывается, что осуществить процессы, из которых состоит цикл Карно, нецелесообразно. Рис. 5.2

Если изобразить газовый цикл Карно в pv – координатах строго в соответствии с полученными реальными значениями параметров в точках А, В, С и D, то из-за относительно небольшой разницы в крутизне изотерм и адиабат окажется, что площадь этого цикла ничтожна, а протяженность его в направлениях обеих координат велика. Так, например, в цикле Карно при

P_C = 0,1 МПа, T_C = 1000 К и T_A = 2500 К давление в конце сжатия должно быть около 4,5 10³ МПа, а объем при расширении должен увеличиться в 400 раз. В существующих же двигателях давление не превышает

4,5 МПа, а объем изменяется не более чем в 25 раз. Таким образом, если построить поршневой двигатель, работающий по циклу Карно, то его преимущество по термическому КПД будет сведено на нет потерями на трение поршня в очень длинном цилиндре.

В реальных условиях осуществить цикл Карно невозможно, но значение его КПД может служить эталоном при опенке совершенства любых циклов тепловых двигателей.

Выше рассмотрен цикл Карно, в котором направление процессов совпадает с движением часовой стрелки A-B-C-D-A (рис.5.1). Такой цикл называют п р я м ы м. Если же совершается цикл против часовой стрелки A-D-C-B-A, его называют о б р а т н ы м. В обратных циклах за счет затраты энергии в форме работы теплота передается от холодного источника горячему, в результате чего происходит охлаждение холодного источника и нагрев горячего. Такой цикл рассматривается в холодильных установках.