Понятие о решении задач нестационарной теплопроводности

Тепловые процессы называются нестационарными, если температурное поле системы, в которой протекает теплообмен, изменяется по времени.

Нестационарные процессы теплопроводности имеют место в теплонапряженных элементах тепловых машин при их запуске, выключении или при изменении режима работы. Кроме того, нестационарная теплопроводность характерна для сооружений незащищенного грунта при суточном изменении температуры, для большего количества технологических процессов и многих теплообменных устройств. На рис.6.5 показан временной характер изменения температур двух точек твердого тела, нагреваемого в среде с постоянной температурой Т _ср.

По мере прогрева тела температура в каждой точке асимптотически приближается к температуре нагревающей среды. Наиболее быстро изменяется температура точек поверхности (кривая 1). Точки, лежащие внутри тела (кривая 2), будут прогреваться с некоторым запаздыванием.

Решить задачу нестационарной теплопроводности – значит найти для заданной точки тела величину температуры и количество теплоты в искомый момент времени. Исходными уравнениями задачи нестационарной теплопроводности являются дифференциальное уравнение (6.8)

 

и условия однозначности, заданные в виде:

–теплофизических свойств тела c_p;

– формы и геометрических размеров тела Ф, l;

– температуры тела в начальный момент времени при = 0

Т_{с т}= Т₀= f (x_ст, y_ст, z_cn,);

– граничных условий III рода .

Дифференциальное уравнение и условия однозначности дают законченную математическую формулировку рассматриваемой задачи. Решение ее заключается в отыскании функции

T=f(x, y, z, c_{p, ,}

которая удовлетворяла бы исходному уравнению и условиям однозначности.

Отсюда видно, что температура зависит в общем виде от большого числа переменных и постоянных параметров, и определение ее представляет сложную математическую задачу. В зависимости от условий однозначности и требуемой точности разработаны и используются различные методы решения, которые можно разделить на следующие группы:

– аналитические методы;

– численные методы;

– методы аналогий.

К аналитическим методам отнесем решения задач нестационарной теплопроводности, не требующие машинной или аналогичной ей техники. Некоторые из этих методов изложены, например, в [4, 7].

В настоящее время наиболее распространены численные методы решения задач нестационарной теплопроводности. Постановка задач, используемые программы, алгоритмы решений приводятся в ряде работ, например, в [4, 6.7].

 

 

Глава 7

Конвективный теплообмен

Теплоотдача

7.1.1.Основной закон теплоотдачи

Понятие конвективного теплообмена охватывает процесс переноса теплоты конвекцией между твердыми поверхностями и омывающими их теплоносителями. Теплоносителем, как правило, является либо жидкость, либо газ. Однако в качестве теплоносителей могут использоваться двух- или трехфазные системы: газ – жидкость; газ – твердые частицы; газ – жидкость – твердые частицы.

В теплоносителе с неоднородным полем температур при вынужденном или естественном перемещении макроскопических элементов наряду с конвекцией происходит процесс переноса тепла теплопроводностью.

Совместный процесс конвекции и теплопроводности называют конвективным теплообменом.

Конвективный теплообмен протекает как внутри теплоносителя, так и на границах его соприкосновения с поверхностями обтекаемых тел.

Конвективный теплообмен между теплоносителем и поверхностью обтекаемого им тела называют теплоотдачей.

Обычно в инженерной практике исследуют теплоотдачу, конвективный же теплообмен внутри теплоносителя при этом не рассматривается.

Тепловой поток при теплоотдаче всегда направлен в сторону меньшей температуры. В процессе теплоотдачи плотность теплового потока, согласно закону Ньютона, прямо пропорциональна температурному напору между теплоносителем и поверхностью теплообмена, т.е.

(7.1)

где α – коэффициент пропорциональности, называемый к о э ф ф и ц и е н-

т о м т е п л о о т д а ч и;

∆ Т – температурный напор.

При T_m >T_cm это ∆T = T_m - T_cm; если T_{c m}> T_m, то ∆T = T_cm - T_m.

Здесь индексом m обозначена температура теплоносителя, индексом cm

– температура поверхности теплообмена (стенки).

Для произвольной поверхности при T_m > T_cm закон Ньютона запишется в виде:

. (7.2)

Значения F, T_m и T_cm в уравнении (6.2) не отражают условий теплообмена, влияющих на величину . Здесь α не является физической постоянной, присущей данному теплоносителю, а зависит от множества факторов, формирующих картину течения около стенки. По этой причине простота уравнения (7.1) представляется кажущейся, и особенности его использования заключаются в сложности определения коэффициента теплоотдачи.

 

7.1.2. Факторы, влияющие на коэффициент теплоотдачи.

Величина коэффициента теплоотдачи характеризует интенсивность конвективного теплообмена на границе “теплоноситель-стенка”.

Численно коэффициент теплоотдачи равен тепловому потоку, приходящемуся на единицу поверхности при температурном напоре, равный единице, т.е.

Отсюда же следует и единица α – Вт/(м² × К).

Коэффициент теплоотдачи имеет весьма широкий диапазон численных значений, табл. 7.1.

Таблица 7.1

Особенности теплоотдачи	.
Естественная конвекция газов	6…40
Вынужденное движение газов	12…120
Вынужденное движение пара в трубах	110…2200
Естественная конвекция воды	110…1100
Вынужденное движение воды	500…11000
Пузырьковое кипение воды	8500…18000
Конденсация водяного пара	4500…22000

 

На величину коэффициента теплоотдачи влияют, прежде всего, теплофизические свойства теплоносителя, его фазовое состояние, вид движения (естественное или вынужденное) и режим течения теплоносителя. Различают ламинарный, переходный и турбулентный режимы течения.

При ламинарном (слоистом) режиме макрочастицы жидкости движутся, не перемешиваясь, параллельно омываемым стенкам и траекториям других частиц. В силу внутреннего трения скорость теплоносителя переменна по сечению нормальному к поверхности. Так, для канала круглого сечения эпюра скорости имеет параболическую форму, рис.7.1, а Перенос тепла при ламинарном режиме движения происходит в осноном за счет теплопроводности теплоносителя и естественной конвекции.

При турбулентном режиме макрочастицы перемещаются по сложным траекториям, не совпадающим с общим направлением потока. Их движение неупорядоченное, хаотичное. Эпюра скорости имеет вид усеченной параболы, (см. рис. 7.1, б). Теплоотдача при турбулентном режиме течения теплоносителя отличается несравненно большей интенсивностью, чем при ламинарном режиме

Рис. 7.1

Как при ламинарном, так и при турбулентном режимах движения скорость теплоносителя непосредственно на стенке равна нулю, а с увели -чением расстояния по нормали от стенки она возрастает.

Слой теплоносителя около поверхности тела, где скорость изменяется от нуля до величины, примерно равной 0,9 скорости невозмущенного потока, называют г и д р о д и н а м и ч е с к и м пограничным слоем и обозначают буквой δ_д, рис.7.2.

 

а б в

Рис. 7.2

Кроме того, необходимо отметить, что в турбулентном пограничном слое непосредственно у стенки имеется очень тонкий слой жидкости, движение в котором имеет ламинарный характер. Этот слой называют вязким, или л а м и н а р н ы м п о д с л о е м и обозначают δ_л (см. рис. 7.2, б).

Если температуры стенки и теплоносителя не одинаковы, то вблизи стенки образуется тепловой пограничный слой δ_т (см. рис.7.2, в). В нем температура изменяется от T_cm до ≈ T_m, т.е. все изменение температуры происходит в сравнительно тонком слое, непосредственно прилегающем к поверхности теплоотдачи. Значения толщин δ_д и δ_т в общем случае не равны, соотношение между ними зависит от рода жидкости. Однако изменения в δ_д приводят к изменениям δ_т. С увеличением скорости теплоносителя значения толщин δ_д, δ_т и δ_л уменьшаются.

При вынужденной конвекции режим течения оценивают по безразмерному комплексу, называемому критерием Рейнольдса. Для цилиндрического канала критерий Рейнольдса имеет вид:

где c - скорость течения теплоносителя,;

d - диаметр канала,;

ν - коэффициент кинематической вязкости,.

Течение теплоносителя в трубах принято считать ламинарным до

Re < 2300. В диапазоне 2300 > Re < 10000 наблюдается переходный режим течения (от ламинарного к турбулентному). При Re > 10000 течение турбулентное.

Для того, чтобы качественно оценить влияние режима течения теплоносителя на коэффициент теплоотдачи, запишем уравнение теплоотдачи в дифференциальной форме.

Для слоя теплоносителя непосредственно на поверхности теплообмена по закону Фурье следует:

где n – нормаль к поверхности тела,.

С другой стороны, согласно закону Ньютона,

Приравнивая правые части этих уравнений, получим:

(7.3)

Уравнение (7.3) выражает условия теплоотдачи на границе “твердая стенка – теплоноситель”.

Чем больше скорость движения теплоносителя, тем меньше толщина пограничного слоя, тем больше градиент температуры и, следовательно, больше коэффициент теплоотдачи. Через толщину пограничного слоя на влияют форма и размер поверхности теплообмена.

Величина коэффициента теплоотдачи зависит от физических свойств теплоносителя.С увеличением плотностиρ, теплопроводности λ, теплоем-кости c_p и уменьшением вязкости ν коэффициент теплоотдачи возрастает.

Влияние температур T_m и T_cm на сказывается через их воздействие на физические свойства теплоносителя.

Таким образом, в самом общем виде коэффициент теплоотдачи является функцией многих факторов:

α = f (X, Ф, l, c, ν, ρ, λ, c_p, T_m, T_cm, …), (7.4)

где X – характер движения теплоносителя;

Ф – форма поверхности теплообмена;

l – характерный геометрический размер;

c – скорость движения теплоносителя.

Для определения коэффициента теплоотдачи в зависимости от поста-

новки задачи могут использоваться следующие методы: экспериментальный,

аналитический и метод теплового подобия.

Чисто экспериментальный метод определения коэффициента теплоотдачи весьма прост и достоверен, так как требует опытного измерения

только трех величин: , T_m и T_cm. Отсюда

.

Этот метод широко используется при исследовании влияния различных факторов на интенсивность теплоотдачи в функционирующих теплообменных установках. Однако экспериментальный метод имеет существенный недостаток, состоящий в том, что полученное значение α не может быть рекомендовано для использования при расчетах устройства, характеристики которого хотя бы незначительно отличаются от характеристик опытной установки.

Аналитические методы основаны на теории пограничного слоя. Сущность этих методов состоит в составлении замкнутой системы дифференциальных уравнений, описывающих процесс конвективного теплообмена в движущемся теплоносителе и последующем решении этой системы. Дифференциальные уравнения, описывающие конвективный теплообмен, устанавливают самую общую связь между величинами, характерными для этого процесса. Следовательно, эти дифференциальные уравнения являются математической моделью целого класса процессов теплообмена. Для получения частного решения эти уравнения дополняются условиями однозначности.

В большинстве случаев, из-за сложности математического описания профиля скорости в пограничном слое, решения, удовлетворяющие дифференциальным уравнениям и условиям однозначности, весьма трудоемки.

Следовательно, если недостатком экспериментального метода определения α является невозможность распространения результатов опытов на другие условия теплообмена, отличающиеся от изученного, то недостатком аналитического метода является невозможность перейти от класса явлений конвективного теплообмена, характеризующегося дифференциальными уравнениями, к единичному, конкретному явлению. Каждый из этих методов в отдельности не может быть эффективно использован для решения практических задач.

В настоящее время для определения коэффициента теплоотдачи в основном используется метод теплового подобия, который объединяет в себе положительные стороны экспериментального и аналитического методов.