Теплоемкость гав и газовых смесей

2.2.1. Понятие теплоемкости

Экспериментально установлено, что величина теплоты, необходимая

для изменения температуры конкретного количества вещества системы, пропорциональна разности конечной и начальной температур:

Q = C (T₂ – T₁),

где С – коэффициент пропорциональности.

В общем случае коэффициент С характеризует физическое свойство

системы, которое называется т е п л о е м к о с т ь ю.

Количественно теплоемкость равна теплоте, которой обменивается с окружающей средой система при изменении ее температуры на один кельвин. Аналитически это определение записывается в виде

С = . (2.24)

За единицу теплоемкости принят джоуль на кельвин (Дж/К).

Теплоемкость, отнесенную к какой-либо количественной единице вещества, называют у д е л ь н о й. Для газов широко используются массовая, молярная и объемная удельные теплоемкости.

Массовая теплоемкость численно равна количеству теплоты, необходимому для изменения температуры одного килограмма газа на один кельвин.

Обозначают удельную массовую теплоемкость строчной буквой с и выражают в Дж/(кг· К).

Теплоемкость одного моля газа называют м о л я р н о й теплоемкостью. Ее обозначают и выражают в Дж/(моль· К).

Теплоемкость единицы объема газа при нормальных физических условиях именуют о б ъ е м н о й теплоемкостью. Ее обозначают с′ и выражают в Дж/(м³ ·К).

Массовая, молярная и объемная теплоемкости связаны соотношением:

с = , (2.25)

где – молярная масса газа;

ρ – плотность газа при нормальных физических условиях.

Численное значение теплоемкости газа так же, как и теплоемкость твердых и жидких тел, зависит от его природы и уровня температуры, при которой она определяется.

Однако кардинальным отличием понятия теплоемкости газа от теплоемкости жидких и твердых тел является то, что на величину теплоемкости газа специфическое влияние оказывает характер процесса, в котором она вычисляется. Так, в адиабатном процессе, где dQ = 0, теплоемкость равна нулю. В процессе с постоянной температурой (T = const) теплоемкость равна бесконечности (c = ± ∞). Теплоемкость газа, присущую тому или иному процессу, принято обозначать индексом, характеризующим конкретный процесс. Если теплоемкость определяется в процессе при постоянном давлении, то ее обозначают c_p и т.д.

 

2.2.2. Теплоемкости c_p и c_v

В термодинамике широко используются две теплоемкости – c_p (в процессе при постоянном давлении) и c_v (в процессе при постоянном объеме).
Проанализируем их особенности. С этой целью представим два цилиндра с поршнями (рис. 2.2). В цилиндрах находится по одному килограмму одного и того же газа. Первоначальные значения давления и удельного объема в цилиндрах одинаковы. Поршень в первом цилиндре закреплен, а во втором – может свободно перемещаться. Поставим задачу: изменить температуру газа в каждом цилиндре на одну и туже величину dT.

dqv qv

d qp

II

v= const

p=const

I

. Рис. 2.2

Для цилиндра 1 запишем уравнение первого закона термодинамики в виде

dq_v = du + pdv.

Разделим его на dT и, принимая во внимание, что dv = 0, получим:

откуда

c_v = . (2.26)

Интегрированием уравнения (2.26) от начального до конечного состояния процесса получим связь между изменением внутренней энергии и

температуры:

∆ u = c_v ∆T. (2.27)

Проделав аналогичные операции с уравнением первого закона термодинамики для газа, находящегося во втором цилиндре, получим:

c_{p =} (2.28)

Отсюда следует соотношение между изменениями энтальпии и температуры в виде

∆i = c_p ∆T. (2.29)

Теплоемкости в процессах при постоянном давлении и постоянном объеме имеют не только различные математические выражения, но и различные числовые значения. Так, доказывается, что c_p >c_v. Это видно из сравнения уравнений (2.26) и (2.28). Поскольку при одинаковом изменении температуры величина di > du, то, следовательно, c_p > c_{v .}

Обращаясь к рассмотренному примеру, можно пояснить сущность неравенства c_p > c_v. Так, при одинаковом изменении температуры газа в цилиндрах величина теплоемкостей определяется количеством подведенной теплоты. Ко второму цилиндру необходимо подвести больше теплоты, так как требуется не только изменить температуру газа на одно и то же число градусов, но и совершить некоторую работу расширения.

Можно определить, на сколько c_p > c_v. Для этого вычтем из (2.28) выражение (2.26) и, учитывая соотношение (1.6), получим:

c_p – c_v =

Дифференцируя уравнение состояния для 1 кг газа, будем иметь:

d(pv)=RdT

Следовательно,

c_p – c_v = R. (2.30)

Выражение (2.30) называется у р а в н е н и е м М а й е р а. Оно показывает, что для любого газа разность между теплоемкостями при p =const и v =const численно равна величине газовой постоянной этого газа.

Отношение теплоемкостей c _p и c _v называют п о к а з а т е л е м

а д и а б а т ы и обозначают буквой к, т.е.

к = . (2.31)

Величина к зависит от природы газа и всегда больше единицы. По известным значениям R и к можно вычислить как c_{p ,} так и c_v, используя следующие выражения:

с_p = R, (2.32)

c _v = R. (2.33)

2.2.3. Зависимость теплоемкости от температуры

Теоретические исследования и опытные данные показывают, что при повышении температуры газа колебательные движения атомов в молекуле становятся интенсивнее. При этом для повышения температуры газа на каждый градус необходимо все большее количество энергии в форме теплоты. Таким образом, теплоемкость газа представляет собой функцию температуры. В общем случае зависимость теплоемкости газа от температуры можно представить в виде степенного ряда

c = c₀ + α t + β t² + t³ +…, (2.34)

где c₀ – значение теплоемкости при t = 0 ⁰ С;

α, β, – числовые коэффициенты.

Значения c ₀, α, β, определяются эмпирическим путем.

В качестве примера приведем квадратичную зависимость молярной теплоемкости азота от температуры:

= 29,02 + 0,00531 t + 0,000000127 t ², кДж/(моль∙ К).

В диапазоне температур, имеющих место в современных тепловых машинах, зависимость теплоемкости от температуры с достаточной степнью

точности можно считать линейной. Это значит, что в уравнении (2.34)

можно учитывать только два первых слагаемых, т.е.:

c = c₀ +α t (2.35)

Теплоемкость, соответствующую данной температуре, называют

и с т и н н о й. и вычисляют по уравнению (2.34) или (2.35).

В теплотехнических расчетах часто возникает необходимость знать с р е дн е е значение теплоемкости в определенном интервале температур.

Средней теплоемкостью c _ср данного процесса в интервале температур от t ₁ до t₂ называют отношение теплоты процесса q _1-2 к разности температур t ₂ – t ₁, т.е.

c _ср = .

После подстановки значений q _1-2 = и с из (2.35), получим:

с _{с р} =с₀ + α . (2.36)

В Приложении табл.5 приведены значения истинной теплоемкости отдельных газов, а в табл. 6 – их средние значения в диапазоне температур от

0 до 2300 ⁰С. При необходимости вычисления средней теплоемкости в диапазоне температур от t ₁до t ₂ можно применить формулу

с_ср (2.37)

Показатель адиабаты к также зависит от температуры. Это можно показать, представив соотношение (2.31) в виде

к = (2.38)

Экспериментальное изучение зависимости c = f (t) для идеальных газов показывает, что у каждого газа существует некоторый интервал температур, в котором его теплоемкость практически постоянна.

Идеальный газ в том интервале температур, где теплоемкость не изменяется, называется с о в е р ш е н н ы м..

Соотношения (2.27) и (2.29) справедливы только для совершенного оаза

Опытное изучение зависимости теплоемкости газов от давления показывает, что это влияние незначительное, и в практических расчетах его можно не учитывать.

 

2.2.4 Теплоемкость газовых смесей

В справочной литературе приводятся теплоемкости только для отдельных газов, в то время как при тепловых расчетах приходится встречаться с газовыми смесями. Ниже приведены выражения для вычисления теплоемкости смеси газов, если она задана парциальными давлениями, массовыми или объемными долями.

с_{p см} = , c_{v cм} = . (2.39)

c_{p см} = , c_{v cм} = (2.40)

. (2.41)

Для смеси газов справедливо уравнение Майера, которое будет иметь вид

с_{p см} – с_{v см} = R _см. (2.42)

 

 

Термодинамические процессы

2.3.1. Понятие термодинамического процесса

Общее представление о состоянии системы и ее изменениях (процессах) изложено в подпункте 1.1.3.

Термодинамический процесс – это определенная последовательность изменения параметров состояния рабочего тела системы.

Термодинамические процессы могут быть равновесными и неравновесными, обратимыми и необратимыми. Если изменение состояния термодинамической системы протекает с нарушением ее внутреннего равновесия, то имеет место неравновесный термодинамический процесс. Реальные процессы, наблюдаемые в природе, в эксперименте, в машинах, являются неравновесными, их описание методами термодинамики невозможно.

С целью изучения основных свойств систем при обмене энергией с окружающей средой используют подход научной абстракции, идеализируют реальные процессы, принимая их за равновесные.

Термодинамический процесс, протекающий с бесконечно малым

отклонением состояния системы от равновесного, называется

р а в н о в е с н ы м.

Понятие об обратимых и необратимых процессах изложено в подпункте 1.1.5. Ниже рассматриваются только равновесные и обратимые термодинамические процессы идеального совершенного газа.

Для равновесной термодинамической системы связь между термодинамическими параметрами устанавливается уравнением состояния идеального газа (2.9). Следовательно, это уравнение справедливо и для равновесного термодинамического процесса не только в начальном и конечном состояниях системы, но и в любом промежуточном ее состоянии.

В общем случае в процессе могут изменяться произвольно (независимо) два термодинамических параметра из трех. Изучение работы тепловых машин показывает, что наибольший интерес для практики представляют конкретные термодинамические процессы, а именно изменения состояния, протекающие при постоянных давлении, объеме, и температуре, а также без теплообмена с окружающей средой. Их характерной особенностью является то, что для совершенного газа величина теплоемкости на всем протяжении процесса остается неизменной.

В термодинамике широко используются графические методы анализа процессов. При этом удобнее использовать не пространственные трехмерные изображения линий, описываемых функцией f(p,v,T), а их двухмерные проекции на одну из трех координатных плоскостей. Как правило, используется графическое изображение термодинамических процессов в координатах pv и Ts, а в особых случаях – в координатах i s; p i; id и др.

В pv и Ts – координатах на рис.2.3 и 2.4 показан произвольный

термодинамический процесс изменения параметров от состояния 1 до состояния 2.

Рис 2.3 Рис. 2.4

На рис. 2.3 площадь, ограниченная кривой процесса 1-2, осью абсцисс и крайними ординатами a и b, как было показано в 1.2.5, численно равна работе расширения, а площадь, ограниченная кривой процесса, осью ординат и крайними абсциссами c и d, – технической работе.

В Ts - координатах площадь, ограниченная кривой процесса 1-2, осью абсцисс и крайними ординатами а и b, выражается интегралом:

F _{а-1-2- б} =

Поскольку dq = Tds или q = , то F _а-1-2-б численно равна подведенной теплоте в процессе.

Так как указанные площади зависят от характера процесса, то теплота и работа являются его функциями.

Независимо от особенностей процесс их анализа проводится в определенной последовательности, заключающейся в следующем:

– устанавливается характер процесса, назначается постоянный параметр;

– с использованием первого закона термодинамики и конкретных особенностей процесса выводится его уравнение;

– из уравнения процесса и уравнения состояния выводятся соотношения между термодинамическими параметрами;

– указывается способ построения графиков в координатах pv и Ts;

– определяется изменение внутренней энергии, энтальпии и энтропии рабочего тела;

– записываются выражения для работы расширения; работы технической и теплоты процесса;

– устанавливается количественное соотношение между теплотой, изменением внутренней энергии и работой в процессе.

Используя указанную последовательность, проведем анализ обобщенного для всех возможных процессов – п о л и т р о п н о г о.

 

 

2.3.2. Политропный процесс

Определение процесса

Термодинамический процесс, протекающий при неизменной теплоёмкости, называется п о л и т р о п н ы м.

Название “политропный” происходит от греческих слов “поли” – много и “тропос” – направление, путь. В политропном процессе в общем случае могут изменяться все термодинамические и калорические параметры кроме теплоёмкости, которую обозначают через c_п.

Вывод уравнения процесса.

Для вывода уравнения исполь\

зуем выражение первого закона термодинамики, записанное через энтальпию и внутреннюю энергию:

dq = di - vdp и dq = du + pdv.

Выразив через теплоемкости записанные выражения, получим:

c_п dT = c_p dT – vdp и c_пdT = c_v dT + pdv.

Отсюда

(с_п – с_p)dT = -vdp и (c_п –c_v)dT = pdv.

Разделим почленно первое уравнение на второе:

.

Здесь левая часть равенства определяется только теплоемкостью рабочего

Разделим почленно первое уравнение на второе:

. ( 2.43)

Проведя разделение переменных, получим:

n .

После интегрирования этого соотношения в пределах от начала до конца процесса и антилогарифмирования, будем иметь:

p₁ v₁ⁿ = p₂ v₂ⁿ.

Отсюда следует, что

р vⁿ = const. (2.44)

Выражение (2.44) называется у р а в н е н и е м п о л и т р о п н ог о п р о ц е с с а. Оно устанавливает связь между параметрами состояния в процессе с теплоемкостью

c_n = const. Показатель степени n в уравнении называют п о к а з а т е - л е м п о л и р о п ы. Он принимает для каждого с_n конкретное числовое значение и, как изображено на рис.2.5, может меняться от - ∞ до +∞. Здесь зависимость теплоемкости политропного процесса от показателя n получена из (2.43) в виде

. (2.45)

Рис. 2.5