Модель 1 (системы с ожиданием)

На СМО, состоящую из n приборов, поступает пуассоновский поток требований на обслуживание интенсивностью a. Время обслуживания каждого требования случайное с экспоненциальной функцией распределения и интенсивностью обслуживания b. Если требование, поступившее в систему, застает все приборы занятыми, то оно встает в очередь и ждет до тех пор, пока прибор не освободится. В каждый момент времени любой прибор может обслуживать не более одного требования. Требуется проанализировать СМО.

Обозначим через - вероятность того, что в СМО находится k требований (состояние ), .

В соответствие с моделью имеем размеченный граф состояний СМО:

Рис. 4.5

Замечание. Для данной модели необходимо выполнение следующего условия:

то есть, входящий поток меньше, чем суммарный выходящий, иначе система не будет функционировать.

Определим показатели эффективности функционирования СМО:

1) - вероятность того, что все приборы свободны:

;

2) - вероятность того, что из n приборов занято обслуживанием k приборов (то есть, в системе находится k требований):

3) Õ - вероятность того, что все приборы заняты ():

;

4) - вероятность того, что все приборы заняты обслуживанием и s требований в очереди:

, ;

5) - среднее время, в течение которого требование ждет начала обслуживания:

;

6) вероятность того, что время ожидания в очереди больше среднего :

;

7) A – средняя длина очереди:

;

8) B - среднее число требований, находящихся в системе:

;

9) À ₀ – среднее число свободных приборов

;

10) À _з - среднее число приборов, занятых обслуживанием:

;

11) R – среднее число обслуживаемых требований:

;

12) - коэффициент простоя приборов:

;

13) - коэффициент загрузки приборов:

;

14) - суммарные потери за отчетный период T:

,

- стоимость потерь, связанных с простаиванием требований в очереди, в единицу времени;

- стоимость потерь за простой обслуживающего устройства в единицу времени;

- стоимость эксплуатации прибора при обслуживании требований в единицу времени.

Пример 1. Станция «Железная дорога» в мегаполисе принимает составы для разгрузки угля на платформах. В среднем за сутки на станцию прибывают 16 составов с углем. Поступление носит случайный характер. Плотность прихода составов показала, что поступление на разгрузку удовлетворяет пуассоновскому потоку с параметром состава в час. Время разгрузки состава является случайной величиной, удовлетворяющей экспоненциальному закону со средним временем разгрузки час. Простой состава в сутки составляет y.e; простой платформы в сутки за опоздание прихода состава - y.e; стоимость эксплуатации платформы в сутки - y.e. Издержки подсчитать за сутки. Требуется провести анализ эффективности функционирования станции.

Решение. Условие существования решения выполнено. Имеем , 1/сутки, 1/сутки. В соответствие с моделью показателями эффективности являются:

1). Вероятность того, что станция свободна . Это означает, что в течение суток станция свободна»19 мин.

2). Вероятность того, что все платформы заняты . То есть, около 13 ч 20 мин. все платформы заняты.

3). Время ожидания разгрузки для каждого состава в среднем составляет ч.

4). Вероятность того, что время ожидания в очереди больше среднего , то есть, каждый третий состав ожидает больше 3-х часов.

5). Средняя длина очереди . Очередь велика. Подъездные пути необходимо дублировать.

6). Среднее число занятых платформ .

7). Среднее число составов на станции .

8). Среднее время нахождение состава на станции .

9). Коэффициент загрузки станции .

10). Коэффициент простоя .

В среднем каждая платформа простаивает 20% времени.

Для изменения времени простоев будем варьировать число платформ . Результаты расчетов сведем в табл. 4.1.

 

Таблица 4.1

№	показатели	платформы
	P0	0,013	0,017	0,18	0,182
	Õ	0,555	0,29	0,136	0,058
	, ч	3,3	0,87	0,27	0,09
	A	11,1	1,74	0,42	0,12
	R	15,1	4,42	3,76	3,76
	B				3,96
		0,2	0,3	0,43	0,48

 

Из табл. 4.1 следует, что при числе платформ почти в 4 раза снижается время ожидания разгрузки, а число составов, ожидающих разгрузки , то есть, почти в 6 раз.

Дальнейшее увеличение числа платформ хотя и улучшает показатели, но для окончательного ответа проведем экономические расчеты. Определим суммарные потери за сутки. За лучший (суб-оптимальный) вариант примем тот, для которого издержки наименьшие.

Имеем из (3.46) .

Результаты расчетов приведены в табл. 4.2.

 

Таблица 4.2

№	показатели	платформы
	, ч	3,3	0,87	0,27	0,09
		0,2	0,3	0,4	0,48

 

Из таблицы следует, что наиболее экономичным оказался вариант с платформами.

Замечание. При применении экономического показателя важно правильно оценить реальные издержки, которые могут изменяться, например, от времени года, от объема запасов угля и пр. Приведенные исходные данные демонстрируют скорее метод анализа, чем претензии на соответствие реально существующим издержкам.