Модель 5 (замкнутые системы, синтез).

Имеется непрерывно работающий прибор, состоящий из m модулей. В процессе работы прибора модули могут выходить из строя в случайные моменты времени. Время наработки машины на отказ является случайной величиной с экспоненциальной функцией распределения и параметром , - среднее время работы машины до отказа.

В случае выхода модуля из строя он мгновенно заменяется одним из n запасных, если таковой имеется, иначе прибор останавливается. Вышедший из строя модуль попадает в ремонт, где восстанавливается одним из r восстанавливающих устройств (операторов). Время восстановления является случайной величиной с экспоненциальной функцией распределения и интенсивностью восстановления , - среднее время восстановления одного модуля. Восстановленные модули возвращаются в резерв. Требуется оценить эффективность работы прибора.

Пусть - вероятность того, что в приборе k неисправных модулей (состояние ), , а - вероятность того, что прибор не может работать (отсутствуют исправные модули для замены вновь вышедшего – состояние ). Построим размеченный граф возможных состояний прибора (рис. 4.9),

Рис. 4.9

 

из которого получаем систему однородных алгебраических уравнений:

,

, ,

, ,

.

Условие нормировки, являющееся следствием модели, имеет вид:

.

Решая систему (с учетом условия нормировки), получаем:

;

, ;

, .

Вычислим показатели эффективности, исходя из найденных вероятностей:

1) - вероятность того, что все n занятых модулей прибора в исправном состоянии;

2) - вероятность того, что прибор не будет работать;

;

3) – среднее число модулей, находящихся в ремонте, при бесперебойной работе прибора:

;

4) - среднее число операторов занятых восстановлением модулей:

;

5) - коэффициент загрузки операторов:

;

6) M - среднее число модулей, ожидающих ремонта:

.

Для определения экономически целесообразного числа запасных модулей и числа восстанавливающих устройств (операторов) воспользуемся формулой, минимизирующей потери при эксплуатации прибора:

,

где - стоимость запасных модулей;

- стоимость содержания одного восстанавливающего устройства в единицу времени;

- стоимость простоя прибора в единицу времени;

- среднее время работы запасного модуля.

Если число восстанавливающих устройств фиксировано, то . Тогда формула

определяет оптимальное число запасных модулей (обеспечивающих минимум потерь из-за простоя прибора и затрат на покупку запасных модулей).

Модель может быть использована для анализа и синтеза ненадежных систем, состоящих из большого числа однотипных элементов: вычислительные системы; парк автобусов, трамваев; предприятия общественного питания и магазины бытовой техники (планирование необходимого количества запасных частей для продажи, сервисных центров и т.д.).