Центр масс механической системы и закон его движения

От динамики отдельной материальной точки перейдем к динамике произвольной системы материальных точек, т.е. произвольной механической системы.

Пусть в некоторой инерциальной системе координат положения взаимодействующих точек с массами m₁, m₂, …m_n задаются в каждый момент времени посредством радиус-векторов (рис.3.1). Тогда центром масс (центром инерции) рассматриваемой системы материальных точек называется такая точка С, радиус-вектор которой определяется по формуле

, (3.7)

где m – масса системы материальных точек.

Если начало системы координат совместить с центром масс, то

, (3.8)

т.е. центр масс – это геометрическая точка, для которой сумма произведений масс всех материальных точек, образующих механическую систему, на их радиус-векторы, проведенные из этой точки, равна нулю.

В случае непрерывного распределения массы, например, в твердом теле, радиус-вектор центра масс определяется интегрированием

. (3.9)

Определим скорость центра масс системы

, (3.10)

где - импульс механической системы.

Следовательно, импульс системы равен произведению ее массы на скорость центра масс

. (3.11)

Установим закон движения центра масс механической системы.

Рассмотрим некоторую систему тел (материальных точек) (рис.3.2). Тела, входящие в систему, могут взаимодействовать как между собой, так и с телами, не принадлежащими данной системе. В соответствии с этим силы, действующие на тела системы, подразделяются на внутренние и внешние. Внутренними называются силы, с которыми на данное тело воздействуют остальные тела системы, внешними – силы, обусловленные воздействием тел, не принадлежащих системе.

Предположим, что в некоторый момент времени t импульсы тел системы соответственно равны . В результате действия внешних и внутренних сил импульсы будут изменяться. По второму закону Ньютона для каждого из тел механической системы можно написать

(3.12)

где и - соответственно все внутренние и внешние силы, действующие на i -е тело системы.

Суммируя левые и правые части уравнений (3.12), получаем

(3.13)

При сложении было учтено, что по третьему закону Ньютона () геометрическая сумма внутренних сил системы равна нулю.

Векторная сумма всех внешних сил, действующих на систему,

(3.14)

называется главным вектором внешних сил.

Таким образом, из (3.13) – (3.14) следует

, (3.15)

где - импульс системы тел.

Это уравнение, полученное нами с помощью второго и третьего законов Ньютона, выражает закон изменения импульса механической системы. Оно показывает, что скорость изменения импульса механической системы равна главному вектору всех внешних сил, действующих на эту систему.

С учетом (3.11) представим уравнение (3.15) в виде

или . (3.16)

Это уравнение называется уравнением движения центра масс механической системы. Центр масс механической системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и на которую действует сила, равная главному вектору внешних сил, приложенных к системе.

Твердое тело эквивалентно системе материальных точек, поэтому это уравнение называют также основным уравнением динамики поступательного движения твердого тела.