Поступательное и вращательное движение абсолютно твердого тела

 

Понятие абсолютно твердого тела используется в том случае, когда нельзя пренебречь размерами тела, но можно для упрощения пренебречь их изменением. Абсолютно твердым называют тело, деформациями которого можно пренебречь, каковы бы ни были действующие на него силы. Абсолютно твердое тело можно считать совокупностью жестко связанных материальных точек. При движении твердое тело выступает как единое целое, при этом, любое сколь угодно сложное движение твердого тела может быть сведено к сумме двух простейших движений – поступательного и вращательного.

Поступательным движением твердого тела называют такое движение, при котором любая прямая проведенная в теле, сохраняет неизменное направление в пространстве, то есть перемещается параллельно самой себе (рис.2.1). По форме траектории поступательное движение может быть как прямолинейным, так и криволинейным. Поступательно движутся, например, кабина лифта, кабины «колеса обозрения», поршень в цилиндре и т.д.

При поступательном движении все точки твердого тела за один и тот же промежуток времени совершают одинаковые перемещения. Следовательно, при поступательном движении скорость и ускорение всех точек тела в любой момент времени также одинаковы. Поэтому, чтобы описать поступательное движение абсолютно твердого тела, достаточно определить движение одной из его точек, например, центра масс.

Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называют такое движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой называемой осью вращения (рис.2.2). Вращение вокруг неподвижной оси совершают, например, роторы турбин, генераторов, коленчатые валы двигателей внутреннего сгорания и т.д.

Движение твердого тела, закрепленного в одной точке, называют вращением вокруг неподвижной точки – центра вращения. Такое движение в каждый момент времени можно рассматривать как вращение вокруг некоторой оси, проходящей через центр вращения и называемой мгновенной осью вращения.

При вращательном движении твердого тела, в отличии от поступательного, скорости разных точек тела не одинаковы. Поэтому скорость какой-либо точки вращающегося тела не может служить кинематической характеристикой движения всего тела. Ниже, перейдем к рассмотрению этих характеристик.

2.2. Кинематика вращательного движения

 

Пусть твердое тело вращается относительно неподвижной (или мгновенной) оси вращения. Примем точку О оси вращения за начало координат, а центр окружности, по которой движется произвольная точка М тела, обозначим О₁ (рис.2.3). Положение точки М определим с помощью радиус-вектора

, (2.1)

где - радиус-вектор дуги окружности, по которой движется точка М.

За время вектор поворачивается в плоскости, перпендикулярной оси ОО₁ на угол . На такой же угол за время поворачивается радиус-вектор любой другой точки тела. Следовательно, угол поворота характеризует перемещение всего вращающегося тела и называется угловым путем, пройденным телом. Очень малые, элементарные углы поворота тела могут рассматриваться как векторы, численно равные и направленные вдоль оси вращения по правилу правого винта (буравчика). Такие векторы называют аксиальными векторами или псевдовекторами.

Кинематической характеристикой, характеризующей направление и быстроту вращения тела вокруг оси, является угловая скорость

или . (2.2)

Угловая скорость также является аксиальным вектором, направление которого совпадает с вектором элементарного поворота (рис.2.3).

При неравномерном вращении тела вокруг неподвижной оси его угловая скорость изменяется. Вектор, характеризующий быстроту изменения угловой скорости тела, называют угловым ускорением

или . (2.3)

При ускоренном вращении, т.е. , вектор совпадает с направлением вектора угловой скорости (рис.2.4,а). При замедленном вращении, когда , направление вектора углового ускорения противоположно вектору (рис.2.4,б).

Установим связь между угловыми и линейными кинематическими характеристиками вращающегося тела.

За время точка М проходит по дуге окружности радиуса R путь , так что

. (2.4)

Поскольку вектора и взаимно перпендикулярны, при этом вектор направлен в ту же сторону, что и векторное произведение , то

. (2.5)

Заменяя согласно (2.1) на радиус-вектор и учитывая, что векторное произведение коллинеарных векторов и равно нулю, получим

. (2.6)

Таким образом, в случае вращения тела вокруг неподвижной оси за начало координат, из которого проводятся радиус-векторы, можно выбрать любую точку оси вращения.

Выразим теперь тангенциальное и нормальное ускорения произвольной точки М через угловую скорость и угловое ускорение тела:

; (2.7)

. (2.8)

В соответствии с рис.2.5 формулы (2.43) и (2.44) можно представить в векторном виде

; (2.9)

. (2.10)

 

 

В заключение рассмотрим частные случаи вращательного движения тела вокруг неподвижной оси:

а) равномерное вращение:

; (2.11)

б) равнопеременное вращение:

, , (2.12)