Описание положения материальной точки

В пространстве

Любое механическое движение относительно. Поэтому, для определения положения материальной точки в пространстве и аналитического описания ее движения необходимо выбрать систему отсчета. Система отсчета представляет собой систему координат, снабженную часами и жестко связанную с телом отсчета, по отношению к которому определяется положение других тел в различные моменты времени. Наиболее часто используется правая прямоугольная декартовая система координат, в которой ориентация орт и совпадает с взаимной ориентацией трех пальцев правой руки – большого, указательного и среднего, когда они расположены взаимно перпендикулярно (рис.1.1).

Положение точки М относительно этой системы координат будет однозначно определено, если будут заданы ее координаты x, y и z. Вместо трех скалярных величин положение точки может быть задано одной векторной - , радиус-вектором, проведенным из начала координат в точку М. Координаты x, y и z являются проекциями радиус-вектора на координатные оси

. (1.1)

Модуль вектора равен

. (1.2)

При движении материальной точки ее положение относительно выбранной системы отсчета, а следовательно, ее радиус-вектор и координаты с течением времени изменяются. Поэтому в общем случае ее движение будет однозначно определено заданием трех скалярных уравнений

(1.3)

либо эквивалентного им одного векторного уравнения

. (1.4)

Эти уравнения называются кинематическими уравнениями движения материальной точки. Решая уравнения (1.3) совместно и исключая параметр t, можно получить уравнение траектории движения материальной точки, т.е. линии, вдоль которой перемещается конец радиус-вектора.

В зависимости от формы траектории различают прямолинейное и криволинейное движение точки. При одномерном движении траектория представляет собой прямую линию, определяемую осью координат. Если траектория точки целиком лежит в одной плоскости, то движение называют плоским (двумерным). В общем случае траектория точки представляет собой пространственную кривую. Например, пусть кинематические уравнения движения заданы в форме

,

где .

Решение данной системы уравнений дает уравнение траектории точки

,

т.е. точка движется в плоскости z =0 по эллиптической траектории.

Итак, мы можем сказать, что положение материальной точки полностью определяется векторной величиной и основной задачей кинематики точки является нахождение закономерностей, определяющих ее изменение со временем.

 

Скорость

 

Рассмотрим движение точки по произвольной криволинейной траектории (рис.1.2). Пусть в момент времени t₁ она занимала положение А, определяемое радиус-вектором , а в момент времени t₂ – положение В, определяемое радиус-вектором . Вектор , проведенный из начальной точки А в конечную В, характеризует изменение пространственного положения точки за данный промежуток времени и называется вектором перемещения. Отрезок траектории , заключенный между точками А и В, называется путем, пройденным за тот же промежуток времени . В общем случае путь отличен по величине от модуля вектора перемещения , однако это различие будет тем меньше, чем меньше . Если устремить к нулю, то , т.е. для бесконечно малого перемещения справедливо равенство .

Для характеристики направления и быстроты движения материальной точки вводится понятие скорости. Введем вначале понятие вектора средней скорости. Отношение вектора перемещения за некоторый интервал времени к его величине называется вектором средней скорости за данное время

. (1.4΄)

Вектор направлен так же, как , т.е. вдоль хорды АВ. Если промежуток времени уменьшать, то при достижении им достаточно малых значений вектор практически перестанет изменяться как по величине, так и по направлению. Это означает, что при отношение (1.4΄) стремится к некоторому пределу, определяющему вектор скорости в момент времени t:

. (1.5)

Таким образом, вектор скорости материальной точки в данный момент времени есть первая производная ее радиус-вектора по времени. Вектор скорости в любой точке траектории направлен по касательной к траектории точки в сторону ее движения.

Модуль вектора скорости равен

, (1.6)

т.е. величина скорости в данный момент времени равна производной пути по времени.

Вектор скорости, как и всякий другой вектор, можно разложить на его составляющие по осям координат

. (1.7)

 

С другой стороны

. (1.8)

Из сравнения (1.6) и (1.7) следует, что

, (1.9)

т.е. проекции вектора скорости на координатные оси равны производным по времени соответствующих координат точки. При этом численное значение скорости можно представить также в виде

. (1.10)

В соответствии с экспериментальным принципом независимости движений, если точка одновременно участвует в нескольких движениях, то результирующее перемещение точки равно векторной сумме перемещений, совершаемых за то же время в каждом из движений порознь. Такой же вывод можно сделать и для скорости движения, получивший название закона сложения скоростей

, (1.11)

где - скорость материальной точки при i -м независимом движении, n – число таких движений.

Таким образом, при трехмерном (или двухмерном) движении мы можем рассматривать перемещение и скорость точки в направлении любой оси координат независимо от того, как она движется относительно других осей.

 

Ускорение

При движении точки по криволинейной траектории величина и направление скорости могут изменяться. Быстроту изменения вектора скорости с течением времени характеризует ускорение.

Рассмотрим движение материальной точки по некоторой кривой (1.3). Пусть в некоторый момент времени t₁ точка имела скорость , а в момент времени t₂ - скорость . Вектор характеризует изменение скорости за время как по величине, так и по направлению. Для его построения перенесем вектор параллельно самому себе так, чтобы его начало совместилось с началом вектора . В этом случае вектор, соединяющий конец с концом и будет представлять собой вектор . Отношение изменения скорости к тому промежутку времени , в течение которого это изменение произошло, выражает вектор среднего ускорения за этот промежуток времени

. (1.12)

Мгновенным ускорением или ускорением точки в данный момент времени t называют величину, математически определяемую как

(1.13)

Таким образом, вектор ускорения в любой момент времени равен первой производной по времени от вектора скорости, или второй производной от радиус-вектора. Численное значение ускорения можно рассчитать через вторую производную от пути по времени

. (1.14)

Вектор ускорения можно представить в виде векторной суммы его составляющих по осям координат

. (1.15)

В то же время, дифференцируя вектор скорости по времени, получаем

. (1.16)

Из сопоставления (1.15) и (1.16) следует, что проекции вектора ускорения на координатные оси равны первым производным соответствующих проекций скорости или вторым производным соответствующих координат по времени. Величина ускорения в этом случае равна

. (1.17)

Вектор ускорения, характеризующий быстроту изменения скорости как по величине, так и по направлению, целесообразно разложить на две составляющие так, чтобы одна из них характеризовала только изменение величины скорости, а другая – только ее направление. С этой целью представим приращение вектора скорости в виде суммы двух векторов (рис.1.4)

. (1.18)

При построении мы отложили отрезок АС=АD, в результате чего, вектор характеризует изменение скорости по величине, вектор - ее изменение по направлению. Проведем также к векторам и линии нормали, которые пересекутся в некоторой точке О, называемой центром кривизны траектории АВ. При приближении точки В к точке А расстояния R₁ и R₂ стремятся к некоторой величине R, которая называется радиусом кривизны траектории в точке А.

Разделив обе части выражения (1.18) на и перейдя к пределу, получим

. (1.19)

Первое слагаемое в правой части представляет ускорение, которое характеризует только изменение скорости по величине, оно называется тангенциальным ускорением. Второе слагаемое характеризует только изменение направления скорости и называется нормальным ускорением.

Можно показать, что

, (1.20)

где - единичный вектор, направленный по касательной к траектории в рассматриваемой точке (тангенциальный – означает касательный: отсюда – название ускорения). А также

, (1.21)

где - единичный вектор нормали к мгновенной скорости в рассматриваемой точке траектории, отсюда название – нормальное ускорение; R – радиус кривизны траектории в данной точке.

Таким образом, тангенциальное и нормальное ускорения представляют собой две взаимно перпендикулярные составляющие полного ускорения, а следовательно,

. (1.22)

На рис.1.5 показаны векторы тангенциального, нормального и полного ускорений для частного случая движения точки А по криволинейной траектории. Направление полного ускорения можно определить углом φ между векторами и :

. (1.23)