Частные случаи кинематики материальной точки

а) Равномерное прямолинейное движение

В случае движения точки вдоль положительного направления оси ОX

и .

Зависимость координаты x точки от времени найдем интегрированием

, , , (1.30)

где - координата точки в начальный момент времени.

Путь при равномерном прямолинейном движении

 

Графики пути и скорости равномерного прямолинейного движения представлены на рис. 1.7.

б) Равнопеременное прямолинейное движение

В этом случае . Если , то движение называют равноускоренным, а если - равнозамедленным. Ради простоты вместо пишут просто .

Зависимость величины скорости от времени имеет вид

, , (1.31)

где - скорость в начальный момент времени.

При движении вдоль положительного направления оси ОX координата изменяется по закону

, , (1.32)

а уравнение пути

. (1.33)

Графики пути и скорости равнопеременного прямолинейного движения представлены на рис. 1.8.

 

 

в) Равномерное движение по окружности

Величина скорости остается неизменной (), но ее направление постоянно изменяется (), причем

.

Поместим начало системы координат в центр окружности, по которой движется точка, и пусть в начальный момент времени она находилась в наивысшей точке А (рис.1.9). Обозначим меняющийся со временем угол между и OY через . Тогда кинематические уравнения движения будут иметь вид

,

а уравнение траектории .

г) Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Пусть тело брошено под углом α к горизонту со скоростью (рис.1.10). У поверхности Земли и без учета сопротивления воздуха его ускорение равно ускорению свободного падения g=9,81 м/с².

В выбранной декартовой системе координат вектор скорости и радиус-вектор меняются по закону

, (1.34)

. (1.35)

В соответствии с принципом независимости движений это движение можно разложить вдоль координатных осей на два прямолинейных. Движение тела вдоль оси OX будет равномерным (g_x=0), а вдоль оси OY равнопеременным (g_y=-g), при этом проекции начальной скорости равны

(1.36)

Проектируя уравнения (1.34) и (1.35) на оси координат, получим следующую систему уравнений

Решение данной системы уравнений позволяет определить время полета, максимальную высоту подъема и дальность полета.

В наивысшей точке подъема вертикальная составляющая скорости , следовательно, время подъема , а высота подъема над горизонтом в этот момент .

В момент времени тело упадет на землю, пройдя вдоль оси Oх расстояние При заданной начальной скорости максимальная дальность полета достигается при , то есть при .

Решая систему кинематических уравнений, получим уравнение траектории движения тела

. (1.37)

Нетрудно видеть, что данное уравнение представляет собой параболу (см. рис.1.10). Радиус кривизны данной траектории в любой ее точке можно определить, используя формулу нормального ускорения (1.21). Так, в наивысшей точке траектории , а , отсюда

. (1.38)

Примеры решения задач

 

На основе известных кинематических уравнений, выражающих зависимость радиус-вектора или координат движущейся точки от времени, путем дифференцирования можно найти вектор скорости и его компоненты, а также и величину скорости. Двукратным дифференцированием кинематических уравнений мы получим зависимость от времени компонент ускорения. Данные задачи называются прямыми задачами кинематики.

Возможны также обратные задачи: по функциям, выражающим зависимость компонент ускорения, можно найти координаты точки в заданный момент времени. Эти задачи решаются интегрированием: однократное интегрирование дает зависимость от времени компонент скорости, двукратное – зависимость от времени координат. При этом в формулах появляются постоянные интегрирования, которые могут быть определены из так называемых начальных условий. Начальные условия – это параметры движения в некоторый определенный момент времени, например, начальный. Начальные условия должны быть заданы дополнительно, поскольку в противном случае задача становится неопределенной.

Приведем примеры решения прямых и обратных задач кинематики.

1. Радиус-вектор материальной точки изменяется со временем по закону . Определите:1) уравнение траектории материальной точки; 2) вектор скорости точки в зависимости от времени; 3) вектор ускорения точки в зависимости от времени; 4) модули скорости и ускорения точки в момент времени .

Решение

Из представленного уравнения вытекают следующие зависимости координат от времени

и .

Исключив из полученной системы уравнений время, найдем уравнение траектории материальной точки

.

Полученное уравнение представляет собой уравнение параболы.

Вектор скорости точки найдем, взяв производную от радиус-вектора по времени

.

Модуль скорости определим через его проекции на координатные оси

.

В момент времени 32,06 м/с.

Вектор ускорения получим, дифференцируя скорость по времени

.

Данный вектор направлен вдоль оси OY, а его величина не зависит от времени и равна 16 м/с².

2. Две материальные точки движутся по одной прямой, совпадающей осью OX. В начальный момент времени первая точка имела координату м, а вторая м. Скорости точек изменяются по законам

и ,

где , . Определить ускорения точек в момент их встречи.

Решение

Условием встречи является равенство координат точек. Поэтому определим интегрированием кинематические уравнения их движения

,

.

Константы С₁ и С₂ определим из начальных условий:

и С₁=0; и С₂=0. Тогда кинематические уравнения примут вид

,

.

Приравняем эти выражения в момент встречи

.

Выполнив преобразования, находим

.

Выбирая положительное значение корня, получим .

Ускорения первой и второй точек находим, взяв производные от скорости по времени

и .

Подставляя в эти уравнения значение времени встречи, получим ответ

, .

3. Тело брошено горизонтально со скоростью м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите радиус кривизны траектории тела через с после начала движения.

Решение

Выберем систему координат и покажем траекторию движения тела, его скорость, ускорение и их составляющие в некоторый момент времени t (рис.1.11).

Проекции скорости на координатные оси и ее величина в данный момент времени будут равны

, ,

.

Полное ускорение тела и его нормальная составляющая

, ,

где .

Произведя подстановку, получим окончательно

, R =140 м.

4. Ускорение парашютиста в затяжном прыжке из неподвижного вертолета изменяется по закону

,

где , . Через какое время после начала прыжка скорость парашютиста станет равной половине максимального значения? Постройте график зависимости скорости от времени

Решение

Зависимость скорости от времени парашютиста найдем путем интегрирования

Максимальное значение скорости определится из условия

при , следовательно .

 

Искомое время найдем из решения уравнения

.

После преобразования, получим

с.

График зависимости скорости от времени представлен на рис.1.12.

 

5. Скорость самолета при разгоне на взлетной полосе изменяется по закону

,

где , , - время от начала движения. Определите длину пути при разгоне, если он длился 10 с.

Решение

Длину пути при разгоне самолета определим интегрированием скорости в пределах от нуля до

.

Произведя вычисления, получим

S=1260 м.

Основные положения

1. Радиус-вектор – вектор, соединяющий начало координат с положением материальной точки в произвольный момент времени:

, .

2. Скорость – векторная физическая величина, равная производной радиус-вектора по времени:

, .

Проекции скорости на координатные оси равны первым производным по времени от соответствующих координат:

.

Вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения тела.

Величина скорости – скалярная величина, равная производной пути по времени:

, .

3. Ускорение – векторная физическая величина, равная первой производной от вектора скорости по времени или второй производной радиус-вектора по времени:

, .

Проекции ускорения на координатные оси равны вторым производным по времени от соответствующих координат:

.