Консервативные силы. Потенциальная энергия

По особенностям производимой работы все силы можно разделить на две группы. Силы, работа которых не зависит от формы пути перемещения тела, а определяется лишь его начальным и конечным положением, называются консервативными. Из независимости работы консервативных сил от пути вытекает, что работа таких сил при перемещении тела по замкнутой траектории (рис.4.4) равна нулю

(4.15)

К таким силам относятся силы тяжести, силы упругости, силы тяготения, силы электростатического взаимодействия (см. приведенные ниже примеры решения задач).

Все силы, не удовлетворяющие условию (4.15), называются неконсервативными или диссипативными. Характерным примером таких сил являются силы трения скольжения, силы сопротивления движению в жидкой или газообразной среде. Работа диссипативных сил отрицательна, поскольку эти силы всегда направлены в сторону противоположную направлению движения.

Если на систему действуют одни только консервативные силы (система находится в поле консервативных сил), то можно для нее ввести понятие потенциальной энергии. Какое-либо произвольное положение системы, характеризующее заданием координат ее точек, условно примем за нулевое (рис.4.5а). Тогда потенциальной энергией системы в рассматриваемом положении 1 определяется работой, совершаемой консервативными силами при переходе системы из данного положения в нулевое:

(4.16)

Работа при перемещении между точками 0 и 1 не зависит от выбора пути, но это как раз и означает, что потенциальная энергия определена однозначным образом как функция координат.

Однако, значение потенциальной энергии зависит от того, какое положение условно принято за нулевое. Если за нулевое положение принять положение (рис.4.5а), то потенциальная энергия будет равна

. (4.17)

Вследствие консервативности сил, действующих в системе, работа вдоль пути , равна работе вдоль пути :

или .

Работа полностью зависит от выбора нулевых положений и при замене одного нулевого положения другим потенциальная энергия системы меняется на постоянную величину. Таким образом, потенциальная энергия системы определяется не однозначно, а с точностью до произвольной постоянной.

Представим теперь, что система перешла из положения 1 в положение 2 по какому-либо пути (рис.4.5б). Работу , совершенную консервативными силами, можно выразить через потенциальные энергии в состояниях 1 и 2. Будем считать, что переход осуществляется через нулевое положение 0, т.е. по пути 102. Так как силы консервативны, то

. (4.18)

По определению потенциальной энергии

, ,

где С – одна и та же аддитивная постоянная.

Таким образом, работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии

. (4.19)

Формула (4.19) дает возможность найти выражение потенциальной энергии для любого поля консервативных сил. Для этого достаточно вычислить работу, совершаемую силами поля между двумя точками и представить ее в виде убыли потенциальной энергии. Примеры вычислений потенциальной энергии будут представлены ниже (см.4.9.), а здесь лишь приведем формулы для некоторых простейших случаев.

Потенциальная энергия тела в однородном поле тяжести

. (4.20)

Потенциальная энергия деформированной пружины

, (4.21)

где - абсолютная упругая деформация пружины.

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия

. (4.22)

Формула получена при условии, что потенциальная энергия в бесконечности равна нулю. Во всяком другом положении она меньше, т.е. отрицательна.