Гипотезы для сравнения эмпирического и

Теоретического распределений

Н₀: Полученное эмпирическое распределение признака не отличается от теоретического (например, равномерного) распределения.

Н₁: Полученное эмпирическое распределение признака отличается от теоретического распределения.

Гипотезы для сравнения двух эмпирических

Распределений

Н₀: Эмпирическое распределение 1 не отличается от эмпирического распределения 2.

Н₁: Эмпирическое распределение 1 отличается от эмпирического распределения 2.

Гипотезы для сравнения более двух эмпирических

Распределений

Н₀: Эмпирические распределения 1, 2, 3,... не различаются между собой.

Н₁: Эмпирические распределения 1, 2, 3,... различаются между собой.

Условия применения критерия Пирсона

1. Измерение может быть проведено в любой шкале.

2. Выборки должны быть случайными и независимыми.

3. Количество наблюдений в выборках должно быть более 30. С увеличением объема выборки точность критерия повышается.

4. Теоретическая частота для каждой ячейки таблицы не должна быть меньше 5.

5. Сумма наблюдений по всем интервалам должна быть равна общему количеству наблюдений.

6. Таблица критических значений критерия c² рассчитана для числа степеней свободы v, которое каждый раз рассчитывается по определенным правилам.

7. Необходимо вносить «поправку на непрерывность» при сопоставле­нии распределений признаков, которые принимают всего 2 значения. При внесении поправки значение c² уменьшается.

Алгоритм подсчета критерия c²

Основная расчетная формула критерия c² выглядит так:

, (12.1)

где f_эj – эмпирические частоты;

f_T – теоретическая частота;

k – количество разрядов признака.

Расчеты критерия c² удобнее заносить в таблицу, состоящую из шести столбцов, в соответствии со следующими шагами:

1. Оформить таблицу, где

· первый столбец – наименования разрядов;

· второй – эмпирические частоты;

· третий – теоретические частоты;

· четвертый – разность между эмпирической и теоретической частотой по каждому разряду (строке);

· пятый – полученные разности в квадрате;

· шестой – результаты деления квадратов разностей на теоретическую частоту.

2. Найти сумму шестого столбца. Полученную сумму обо­значить как c².

3. Определить число степеней свободы v = k- 1, где k – количество разрядов признака. Если сравниваются эмпирические распределения значений, число степеней свободы находится следующим образом: v = (k- 1 ) × (c- 1 ), где k – число строк, а с – число столбцов. Если v= 1, то необходимо внести поправку на «непрерывность».

4. Определить по таблице 8 Приложения 1 критические значения для данного числа степеней свободы v.

5. Для процесса принятия решения вычертить «ось значимости».

Критерий c² – один из наиболее часто использующихся в психологических исследованиях, поскольку он позволяет решать большое число разных задач.

Рассмотрим ряд примеров решения задач с использованием основной формулы критерия c² и его модифицированных формул:

· сравнение эмпирического распределения с теоретическим (равномерным) – задача 12.1;

· сравнение эмпирического распределения с теоретическим (нормальным) – задача 12.2;

· сравнение двух эмпирических распределений – задача 12.3;

· сравнение распределений, в случае если признак принимает всего 2 значения (степень свободы v= 1), – задача 12.4;

· сравнение двух эмпирических распределений в выборках одинакового объема с большим количеством переменных – задача 12.5;

· сравнение двух эмпирических распределений в выборках разного объема с большим количеством переменных – задача 12.6.

Задача 12.1

В одной из школ города выяснялась успешность обучения алгебре учащихся десятого класса. Для этого в классе была проведена контрольная работа. Проверялось предположение о равномерном распределении оценок за контрольную работу. Результаты контрольной работы в таблице 12.1.

 

Таблица 12.1

 

Оценки	«5»	«4»	«3»	«2»	Всего взглядов
Количество оценок

 

Необходимо сопоставить полученные эмпирические частоты с теоретическими частотами. Если успеваемость в классе не будет отличаться от равномерного распределения, то количества оценок между «5», «4», «3», «2» будут распределены примерно одинаково.

Решение

Гипотезы к задаче

Н₀: Распределение оценок по контрольной работе не отличается от равномерного распределения.

Н₁: Распределение оценок по контрольной работе отли­чается от равномерного распределения.

Теоретическая частота при сопоставлении эмпирического распределения с равномерным определяется по формуле:

f_теор = n / k, (12.2)

где n – количество наблюдений;

k – количество разрядов признака.

Для приведенной задачи f_теор = 32 / 4 = 8. Если бы все оценки распределялись равномерно, то оценку «5» получили бы 8 учащихся, как и оценки «4», «3», «2».

В методе c²вычисления производятся с точностью до сотых, а иногда и до тысячных долей единицы.

Оформим вычисления расчет критерия c²при сопоставлении эмпирического распределения оценок по контрольной работе с равномерным распределением в таблицу 12.2.

 

Таблица 12.2

 

Разряды	Эмпирическая частота, f эj	Теоретическая частота, fТ	f эj- fТ	(f эj- fТ)^2	(f эj- fТ)^2/ fТ
«5»					4,50
«4»			-3		1,13
«3»					0,00
«2»			-3		1,13
Сумма					6,75

Сумма раз­ностей между эмпирическими и теоретической частотами (сумма по четвертому столбцу) всегда равна 0. Если это равенство не соблюдается, это означает, что в подсчете частот или разностей допущена ошибка.

Согласно формуле (12.1) сумма шестого столбца и есть .

Для нахождения критических значений критерия c² необходимо обратиться к таблице 8 Приложения 1, определив предварительно число степеней свободы v. В нашем случае k (число вариантов оценок) = 4, следовательно, v = 4 – 1 = 3. По таблице 8 Приложения 1 находим:

.

Построим «ось значимости». Чем больше отклонения эмпирических частот от теоретических, тем больше будет величина . Поэтому «зона значимости» располагается справа, а «зона незначимости» – слева.

 

 

Ответ

c²_эмп = 6,75, принимается H₀. Распределение оценок по контрольной работе не отличается от равномерного распределения.

При решении задач с равновероятным распределением теоретических частот не было необходимости использовать специальные процедуры их подсчета. Однако на практике чаще возникают задачи, в которых распределение теоретических частот не имеет равновероятного характера. В этих случаях для подсчета теоретических частот используются специальные формулы или таблицы. Рассмотрим задачу, в которой в качестве теоретического будет использоваться нормальное распределение.

Задача 12.2

У 267 человек был измерен рост. Вопрос состоит в том, будет ли полученное в этой выборке распределение роста близко к нормальному (задача взята из учебника Г.Ф. Лакина «Биометрия», 1990).

Данные разбиты на 9 интервалов шириной 3 см. В задаче указаны середины интервалов и эмпирическая частота. Среднее значение , стандартное отклонение s = 4,06.

Решение

Гипотезы к задаче

Н₀: Распределение роста 267 человек не отличается от равномерного.

Н₁: Распределение роста 267 человек отличается от равномерного.

Для каждого выделенного интервала первоначально подсчитывается нормированные частоты по формуле:

, (12.3)

где x_i – середины интервалов;

– среднее;

s – среднеквадратичное отклонение.

Подсчитав эти величины, занесем их в таблицу 12.3, в третий столбец

Затем по величинам нормированных частот по таблице 1 Приложения 1 находим ординаты нормальной кривой – , для каждой z_i. Ординаты заносим в четвертый столбец таблицы 12.3.

 

Таблица 12.3

 

Центры интервалов xi	Эмпирические частоты fэi		Ординаты нормальной кривой	Расчетные теоретические частоты
		-2,77	0,0086	1,7
		-2,03	0,0508	10,0
		-1,29	0,1736	34,3
		-0,55	0,3429	67,7
		0,19	0,3918	77,3
		0,93	0,2589	51,1
		1,67	0,0989	19,5
		2,41	0,0219	4,3
		3,15	0,0028	0,6
Сумма

 

Теоретические частоты находятся по формуле:

, (12.4)

где n – общая величина выборки (n =267);

l – величина интервала (l =3);

s – среднеквадратичное отклонение.

После подсчета эти величины заносятся в пятый столбец таблицы 12.3.

Дальнейшие расчеты проводим на основе стандартной таблицы 12.4.

Согласно формуле (12.1) сумма шестого столбца и есть .

 

Таблица 12.4

 

Разряды	Эмпирическая частота, f эj	Теоретическая частота, fТ	f эj- fТ	(f эj- fТ)^2	(f эj- fТ)^2/ fТ
		1,7	1,3	1,69	0,99
		10,0	-1		0,10
		34,3	-3,3	10,89	0,32
		67,7	3,2	10,24	0,15
		77,3	4,4	19,36	0,25
		51,1	-5,2	27,04	0,53
		19,5	-0,4	0,16	0,01
		4,3	0,6	0,36	0,08
		0,6	0,4	0,16	0,27
Сумма					2,7

 

В случае оценки равенства эмпирического распределения нормальному число степеней свободы определяется особым образом: из общего числа интервалов вычитается число 3. В данном случае: 9-3=6. Таким образом, число степеней свободы будет равно v =6. По таблице 8 Приложения 1 находим:

.

«Ось значимости»

 

 

Ответ

, принимается Н₀. Распределение роста 267 человек не отличается от равномерного.

Задача 12.3

Одинаков ли уровень подготовленности учащихся в классе из задачи 12.1 и в классе, где при изучении этой темы применялась другая методика? Результаты второй группы учащихся представлены в таблице 12.5.

Таблица 12.5

 

Оценки	«5»	«4»	«3»	«2»	Всего взглядов
Количество оценок

Решение

Гипотезы к задаче

Н₀: Распределение оценок по контрольной работе в первой группе учащихся не отличается от распределения оценок во второй группе учащихся.

Н₁: Распределение оценок по контрольной работе в первой группе учащихся отличается от распределения оценок во второй группе учащихся.

Для подсчета теоретических частот можно составить специальную таблицу (12.6). Для каждой эмпирической частоты определяется своя теоретическая частота. Это обусловлено тем, что количество учащихся в группах разное и необходимо учитывать эту пропорцию.

Рассчитаем эту пропорцию. Всего оценок в группе получено 68, из них в первой группе – 32 и во второй – 36. Доля оценок в первой группе составит 32/68 = 0,47; доля оценок во второй группе – 36/68 = 0,53.

 

Таблица 12.6

 

Разряды	Эмпирические частоты	Суммы	Теоретические частоты
В первой группе	Во второй группе	В первой группе	Во второй группе
«5»				13,63	15,37
«4»				5,17	5,83
«3»				7,99	9,01
«2»				5,17	5,83
Сумма

 

Итак, во всех строках оценки первой группы должны были бы составлять 0,47 всех оценок по данной строке, а оценки во второй группе – 0,53 всех оценок. Теперь, зная суммы оценок по каждой строке, можно рассчитать теоретические частоты для каждой ячейки таблицы.

Для оценок первой группы:

§ f_{1 теор} = 29×0,47 = 13,63;

§ f_{2 теор} = 11×0,47 = 5,17;

§ f_{3 теор} = 17×0,47 = 7,99;

§ f_{4 теор} = 11×0,47 = 5,17.

Для оценок второй группы:

§ f_{1 теор} = 29×0,53=15,37;

§ f_{2 теор} = 11×0,53=5,83;

§ f_{3 теор} = 17×0,53=9,01;

§ f_{4 теор} = 11×0,53=5,83.

Общая формула подсчета f _теор будет выглядеть так:

 

f теор =	Сумма частот по соответствующей строке	.	Сумма частот по соответствующему столбцу
Общее количество наблюдений

 

Теперь оформим вычисление в таблицу 12.7, аналогичную таблице 12.2, представив во втором и третьем столбцах эмпирические и теоретические частоты сначала первой группы, затем второй.

Таблица 12.7

 

Ячейки таблицы частот	Эмпирическая частота, f эj	Теоретическая частота, fТ	f эj- fТ	(f эj- fТ)^2	(f эj- fТ)^2/ fТ
		13,63	0,37	0,137	0,010
		5,17	-0,17	0,029	0,006
		7,99	0,01	0,000	0,000
		5,17	-0,17	0,029	0,006
		15,37	-0,37	0,137	0,009
		5,83	0,17	0,029	0,005
		9,01	-0,01	0,0001	0,000
		5,83	0,17	0,029	0,005
Сумма					0,041

 

Число степеней свободы при сопоставлении двух эмпирических распределений определяется по формуле (12.3):

v = (k- 1 )× (с- 1 ), (12.3)

где k – количество разрядов признака (строк в таблице эмпири­ческих частот);

с – количество сравниваемых распределений (столбцов в таб­лице эмпирических частот).

В данном случае количество разрядов – это количество вариантов оценок, т.е. 4. Количество сопоставляемых распределений с= 2. Итак, для данного случая v = (4-1)× (2-1) =3.

Определяем по таблице Приложения критические значения для v =3:

.

«Ось значимости»

 

 

Ответ

, Н₀ принимается. Распределение оценок по контрольной работе в первой группе учащихся не отличается от распределения во второй группе учащихся.

Если в задаче требуется сопоставление одновременно трех и более распределений, то принцип расчетов такой же, как и при сопоставлении двух эмпирических распределений.

В случае если число степеней свободы v=1, т. е. если признак принимает всего 2 значения, необходимо вносить поправку на непрерывность.

Задача 12.4 [11]

В исследовании порогов социального атома профессиональных психологов просили определить, с какой частотой встречаются в их за­писной книжке мужские и женские имена коллег-психологов. Попыта­емся определить, отличается ли распределение, полученное по записной книжке женщины-психолога X, от равномерного распределения. Эмпи­рические частоты представлены в таблицы:

 

Мужчин	Женщин	Всего человек

Решение

Гипотезы к задаче

Н₀: Распределение мужских и женских имен в записной книжке Х не отличается от равномерного распределения.

Н₁: Распределение мужских и женских имен в записной книжке Х от­личается от равномерного распределения.

Количество наблюдений n =67; количество значений признака k= 2. Рассчитаем теоретическую частоту:

f_теор = n/k = 67/2 = 33,5.

Число степеней свободы v = k – 1 =1.

Далее все расчеты производятся по известному алгоритму, но с одним добавлением: перед возведением в квадрат разности частот необходимо уменьшить абсолютную величину этой разности на 0,5. Расчеты внесем в таблицу 12.8.

 

Таблица 12.8

 

Разряды	Эмпирическая частота, f эj	Теоретическая частота, fТ	f эj- fТ	(f эj- fТ-0,5)	(f эj- fТ-0,5)^2	(f эj- fТ-0,5)^2 fТ
Мужчины		33,5	-11,5			3,61
Женщины		33,5	11,5			3,61
Сумма						7,22

 

Таким образом, =7,22.

Для v =1 определяем по таблице 8 Приложения 1 критические значения:

.

«Ось значимости»

 

 

Ответ

=7,22, Н₀ отклоняется, принимается H₁. Распределение мужcких и женских имен в записной книжке психолога Х отличается от равномерного распределения (α<0,01).

Задача 12.5

Психолог сравнивает два эмпирических распределения, в каждом из которых было обследовано 200 человек по тесту интеллекта. Различаются ли между собой эти распределения?

Решение

Гипотезы к задаче

Н₀: Распределения уровней интеллекта в двух равных выборках не отличаются между собой.

Н₁: Распределения уровней интеллекта в двух равных выборках статистически значимо отличаются между собой.

Представим эмпирические данные в виде таблицы 12.9, в которой приведены также предварительные расчеты, необходимые для получения .

 

Таблица 12.9

 

Уровни интеллекта	Частоты	f1× f2	f1+ f2	f1× f2 f1+ f2
f1	f2
					0,50
					3,13
					12,04
					30,22
					31,01
					21,68
					5,88
					0,33
					0,00
Сумма					104,79

 

Для случая равенства числа испытуемых в первой и второй выборках расчет производится по формуле (12.4):

 

, (12.4)

где f₁ – частоты первого распределения;

f₂ – частоты второго распределения;

n – число элементов в каждой выборке.

Произведем расчет по формуле 12.4, основываясь на результатах таблицы 12.9:

.

В данном случае число степеней свободы v = (k -1 )×(c -1) =(9-1) × (2-1) = 8, где k – число интервалов разбиения, а с – число столбцов. В соответствии с таблицей 8 Приложения 1 находим:

.

«Ось значимости»

 

 

Ответ

, принимается Н₁. Распределения уровней интеллекта в двух равных выборках статистически значимо отличаются между собой (a<0,05).

 

Задача 12.6

Психолог сравнивает два эмпирических распределения, в каждом из которых было обследовано по тесту интеллекта разное количество испытуемых. Различаются ли между собой эти распределения?

Решение

Гипотезы к задаче

Н₀: Распределения уровней интеллекта в двух неравных выборках не отличаются между собой.

Н₁: Распределения уровней интеллекта в двух неравных выборках статистически значимо отличаются между собой.

Представим эмпирические данные в виде таблицы 12.10, в которой приведены также предварительные расчеты, необходимые для получения .

 

Таблица 12.10

 

Уровни интеллекта	Частоты	f1× f2	f1+ f2	f1× f2 f1+ f2
f1	f2
					1,00
					8,00
					22,04
					21,95
					25,79
					5,54
					4,90
					2,00
					0,50
					0,00
Сумма					91,72

 

В этом случае расчет производится по формуле 12.5:

, (12.5)

где f₁ – частоты первого распределения;

f₂ – частоты второго распределения;

n₁, n₂ – число элементов в первой и второй выборках;

N – сумма числа элементов в обеих выборках.

Произведем расчет по формуле 12.5:

.

В данном случае число степеней свободы v = (k -1 )×(c -1) =(10-1) × (2-1) = 9, где k – число интервалов разбиения, а с – число столбцов. В соответствии с таблицей 8 Приложения 1 находим:

.

«Ось значимости»

 

 

Ответ

, принимается Н₁. Распределения уровней интеллекта в двух неравных выборках статистически значимо отличаются между собой (a<0,01).

 

 

12.3 l – КРИТЕРИЙ КОЛМОГОРОВА-СМИРНОВА

Назначение критерия l

Критерий l предназначен для решения тех же задач, что и критерий c² _. Иначе говоря, с его помощью можно сравнивать эмпирическое распределение с теоретическим или два эмпирических распределений между собой. Разница между критериями в том, что при применении c² сопоставляются частоты двух распределений, а при применении критерия l сравниваются накопленные частоты по каждому разряду.

Критерий позволяет найти точку, в которой сумма накопленных расхождений между двумя распределениями является наибольшей, и оценить достоверность этого расхождения.

Если различия между двумя распределениями существенны и в какой-то момент разность накопленных частот достигнет критического значения, можно признать различия статистически достоверны­ми. В формулу критерия l включается эта разность. Чем больше эмпи­рическое значение l, тем более существенны различия.

Гипотезы

Н₀: Различия между двумя распределениями недостоверны (судя по точке максимального накопленного расхождения междуними).

Н₁: Различия между двумя распределениями достоверны (судя по точке максимального накопленного расхождения между ними).

Ограничения критерия l Колмогорова-Смирнова

1. Измерение может быть проведено в шкале интервалов и отношений.

2. Выборки должны быть случайными и независимыми.

3. Желательно, чтобы суммарный объем двух выборок был больше или равен 50.

4. Сопоставление эмпирического распределения с теоретическим иногда допускается при n ³5.

5. Разряды должны быть упорядочены по нарастанию или убыванию какого-либо признака (дни недели, 1-й, 2-й, 3-й месяцы после прохождения курса терапии, повышение температуры тела, усиление чувства недостаточ­ности и т. д.). Во всех тех случаях, когда разряды представляют собой не упорядоченные по возрастанию или убыванию какого-либо признака кате­гории, следует применять метод c².

Задача 12.7

В выборке учащихся одиннадцатых классов городских школ проводилось тестирование по математике. Распределение результатов тестирования представлено в таблице 12.11.

 

Таблица 12.11

 

Доля правильных ответов, %	Количество учащихся, получивших результат в данном интервале
0-20%
21-40%
41-60%
61-80%
81-100%

 

Можно ли утверждать, что распределение результатов тестирования по математике учащихся городских школ отличается от равно­мерного распределения?

Решение

Н₀: Эмпирическое распределение результатов тестирования по математике учащихся городских школ не отличается от равномерного распределения.

Н₁: Эмпирическое распределение результатов тестирования по математике учащихся городских школ отличается от равномерного распределения.

Эмпирические частости для данного распределения рассчитываются по формуле:

, (12.6)

где f_{j –} частота результата в интервале j;

n – общее количество учащихся (наблюдений).

Теоретические частости рассчитываются по формуле:

, (12.7)

где k – количество интервалов (разрядов).

Для нашей задачи

.

Для наглядности расчеты оформим в таблицу 12.12.

Для сопоставления накопленных эмпирических и теоретических частостей находим разность между ними и заносим ее в восьмой столбец.

Определим по восьмому столбцу, какая из абсолютных величин разности является наибольшей. Она будет обозначаться d_max. В данном случае d_max =0,222

 

Таблица 12.12

 

Доля правильных ответов, %	Частота	Частость	Накопленная частость	Разность
эмпирическая	теоретическая	эмпирическая	теоретическая	эмпирическая	теоретическая
0-20%			0,089	0,200	0,089	0,200	-0,111
21-40%			0,333	0,200	0,422	0,400	0,022
41-60%			0,400	0,200	0,822	0,600	0,222
61-80%			0,156	0,200	0,978	0,800	0,178
81-100%			0,022	0,200	1,000	1,000	0,000
Сумма							0,533

 

Теперь необходимо обратиться к таблице 9 Приложения 1 для определения критических значений d_max при n =45:

.

«Ось значимости»

 

Ответ

d_max =0,222, принимается Н₁. Эмпирическое распределение результатов тестирования по математике учащихся городских школ отличается от равномерного распределения (при a<0,05).

Задача 12.8

В выборке учащихся одиннадцатых классов районных школ проводилось тестирование по математике при помощи теста, аналогичного тесту для городских школ (задача 12.7). Распределение результатов тестирования представлено в таблице 12.13.

 

Таблица 12.13

 

Доля правильных ответов, %	Количество учащихся, получивших результат в данном интервале
0-20%
21-40%
41-60%
61-80%
81-100%

 

Можно ли утверждать, что распределение результатов тестирования по математике учащихся городских школ отличается от распределения результатов учащихся районных школ?

Решение

Гипотезы к задаче

Н₀: Распределение результатов тестирования по математике учащихся городских школ не отличается от распределения результатов учащихся районных школ.

Н₁: Распределение результатов тестирования по математике учащихся городских школ отличается от распределения результатов учащихся районных школ.

Поскольку в данной задаче сопоставляются накопленные эмпирические частости по каждому разряду, то теоретические частости не вычисляются.

Критерий l находится по формуле:

, (12.7)

где п₁ – количество наблюдений в первой выборке;

n₂ – количество наблюдений во второй выборке;

d_max – наибольшее из абсолютных величин разности накопленных эмпирических частостей.

По таблице 10 Приложения 1 определить, какому уровню статистической зна­чимости a соответствует полученное значение l. Если l> 1,36, различия между распределениями можно считать достоверными. Последовательность выборок может быть выбрана произвольно.

Основные расчеты для нашей задачи оформляются в таблицу 12.14.

Максимальная разность между накопленными эмпирическими частостями составляет 0,218 и попадает на второй разряд.

 

Таблица 12.14

 

Доля пра-вильных ответов, %	Эмпирические частоты	Эмпирические частости	Накопленные эмпириче­ские частости	Разность
	f1	f2	f1^*	f2^*	Sf1^*	Sf2^*	Sf1^*-Sf2^*
0-20%			0,089	0,200	0,089	0,200	0,111
21-40%			0,333	0,440	0,422	0,640	0,218
41-60%			0,400	0,200	0,822	0,840	0,018
61-80%			0,156	0,160	0,978	1,000	0,022
81-100%			0,022		1,000	1,000
Сумма

 

В соответствии с формулой подсчитываем l_эмп по формуле (12.7):

.

По таблице 10 Приложения 1 определяем уровень статистической значимости полученного значения: a =0,59.

«Ось значимости»

 

 

На оси указаны критические значения l, соответствующие принятым уровням значимости: l_0,05 =1,36, l_0,01 =1,63.

Ответ

, принимается H₀. Распределение результатов тестирования по математике учащихся городских школ не отличается от распределения результатов учащихся районных школ.

 

 

12.4 КРИТЕРИЙ j^* - УГЛОВОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФИШЕРА

 

Многофункциональные статистические критерии – это критерии, которые могут использоваться по отношению к самым разнообразным данным, выборкам и задачам. С помощью этого рода критериев можно решать задачи на сопоставление уровней исследуемого признака, сдвигов и сравнение распределений. При этом данные могут быть представлены в любой шкале, выборки могут быть независимые и связанные.

К многофункциональным статистическим критериям относятся угловое преобразование Фишера (j^* критерий Фишера), применяемое в случае наличия двух выборок, и биноминальный критерий m для задач с одной выборкой.

Применение многофункциональных критериевпозволяет определить, какая доля наблюдений в данной выборке характеризуется интересующим нас эффектом и какая доля этим эффектом не характеризуется.

В качестве эффектов могут выступать:

§ качественные признаки (выражение согласия с предложением, выбор правой дорожки из двух и т.д.);

§ количественные признаки (уровень оценки, превышающий проходной балл, решение задачи менее чем за 20 секунд и т.п.);

§ соотношение значений или уровней признаков (преимущественное появление крайних признаков).

Назначение критерия j^*

Критерий Фишера предназначен для сопоставления двух выборок по частоте встречаемости интересующего исследователя эффекта.

Критерий оценивает достоверность различий между процентными долями двух выборок, в которых зарегистрирован интересующий исследователя эффект.

Суть углового преобразования Фишера состоит в переводе процент­ных долей в величины центрального угла, который измеряется в радианах. Большей процентной доле будет соответствовать больший угол j, меньшей доле – меньший угол, но соотношения здесь нелинейные:

,

где Р – процентная доля, выраженная в долях единицы.