Означення. Основні властивості

Функція F (x) називається первісною функції f (x), якщо її похідна дорівнює f (x):

.

Якщо F (x) – деяка первісна функції f (x), то F (x)+ С, де С – довільна стала, дає нам сукупність усіх первісних функції f (x) і називається невизначеним інтегралом функції f (x). Позначення

.

Основні властивості невизначеного інтеграла:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

 

 

Таблиця основних інтегралів:

1. , . 5. .

1'. . 6. .

1''. . 7. .

2. . 8. .

3. . 9. .

3'. . 10. .

4. . 11. .

 

де u = u (x) – деяка функція від х.

Приклад. .

Ми скористалися формулою 3', де u = x ³.

 

Інтегрування частинами

Формула інтегрування частинами

застосовується для обчислення інтегралів вигляду

, ,

,

і деяких інших, де Р (х) – многочлен.

 

Приклад

.

Приклад

=

= = .

Приклад

= =

 

Зауважимо, що в інтегралах вигляду завжди за u беремо х^п, а в інтегралах вигляду за u беремо відповідно lnx, arcsinbx, arctgbx.

 

Інтегрування раціональних дробів

Раціональний дріб (відношення многочленів будь-яких степенів) називається правильним, якщо степінь чисельника менший степеня знаменника. У протилежному разі він називається неправильним.

З неправильного дробу треба виділити цілу частину. Для цього чисельник ділять на знаменник за методом кута:

 

Приклад. Виділити цілу частину з неправильного раціонального дробу .

Розв’язання. Поділимо многочлени за методом кута:

 

-

-

 

Тут 2х – 1 – ціла частина, -5х + 9 – залишок.

Отже:

Правильний дріб розкладаємо у суму найпростіших дробів. Найпростішими дробами називаються вирази вигляду:

1) ; 2) , (n >1,n );

3) , 4) , (m >1, m ).

У 3) і 4) дискримінант знаменника D <0.

Дріб 4) розглядати не будемо.

Найпростіші дроби 1)-3) інтегруються наступним чином:

;

;

= (у чисельнику виділяємо похідну знаменника) (у знаменнику другого інтеграла виділяємо повний квадрат)

.

Розклад правильного дробу в суму найпростіших і знаходження невідомих коефіцієнтів розглянемо на наступному прикладі.

. Приклад. Правильний дріб розкласти у суму найпростіших дробів.

Розв'язання. Спочатку розкладемо знаменник на множники

.

Кореню х = 0 (кратність 2) відповідає два доданки, кореню х = 2 відповідає один доданок, кореню х = -2 відповідає один доданок. Коефіцієнти А, В, С і D невідомі

Отже: .

Для знаходження невідомих коефіцієнтів А, В, С і D зводимо до спільного знаменника праву частину і знаменники відкидаємо.

.

У правій частині розкриємо дужки та згрупуємо за степенями х.

.

Маємо тотожність. Многочлен ліворуч з відомими коефіцієнтами дорівнює многочлену праворуч з невідомими коефіцієнтами.

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях х, отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь з чотирма невідомими: A,B,C,D.

; .

Отже: .