Матриці. Визначення, дії над матрицями 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Матриці. Визначення, дії над матрицями



Матрицею розмірності називається прямокутна таблиця чисел, яка має m рядків і n стовпців.

.

Числа аij (i = 1, …, m; j = 1, …, n) називаються елементами матриці А. Відзначаємо, що перший індекс указує номер рядка, другий – номер стовпця.

Для матриць А і В однакової розмірності вводиться операція додавання наступним чином:

С = А + В, якщо cij = aij + bij,

для усіх і та j. Аналогічно вводиться операція віднімання.

Для будь-якої матриці А та числа λ матрицею λА називається матриця В з елементами bij = λaij, для усіх і та j.

 

Приклад.

, .

Знайти матрицю 2А + 3В.

Розв’язання. ,

.

 

У подальшому ми визначимо також і операцію множення матриць.

 

Визначник матриці

Якщо , матриця називається прямокутною, якщо – квадратною.

Кожній квадратній матриці ставиться у відповідність число, яке називається її визначником. Визначник позначається так

.

Число n називається порядком квадратної матриці та її визначника.

Визначники другого та третього порядку

Визначник другого порядку обчислюється за формулою

 

 

Приклад. Обчислити визначник

Розв’язання.

Визначник третього порядку обчислюється розкладанням по елементам першого рядка, тобто за такою формулою:

Приклад. Обчислити визначник .

Розв’язання.

 

Мінор та алгебраїчне доповнення

Елемента визначника

Мінором елемента визначника n–го порядку |A| називається визначник порядку n-1, який ми одержимо з визначника |A|, якщо закреслимо i-й рядок та j-й стовпець.

Алгебраїчне доповнення елемента aij визначається формулою

Наприклад, для визначника третього порядку

ми маємо:

 

, ;

 

, ;

, .

 

Тоді для визначника |A| має місце формула

Визначник дорівнює сумі добутків елементів і-го рядка на їх алгебраїчні доповнення.

Останнє формулювання застосовується також для визначників більш високих порядків.

 

Добуток матриць

Розглянемо дві матриці, одну розмірності , другу - :

; ,

де m, n і p довільні натуральні числа.

Оскільки кількість стовпців матриці А дорівнює кількості рядків матриці В, ми можемо установити взаємо однозначну відповідність між елементами будь-якого рядка матриці А та будь-якого стовпця матриці В. Для і-того рядка матриці А та j-того стовпця матриці В елементу аi1 ми ставимо у відповідь b1j, елементу ai2 - b2j і т.д.

Тепер ми можемо визначити добуток будь-якого рядка матриці А на будь-який стовпець матриці В як суму добутків відповідних елементів.

Добутком матриці А розмірності та матриці В розмірності називається матриця С розмірності , якщо кожний елемент сij дорівнює добутку і-го рядка матриці А на j-й стовпець матриці В:

сij = ai1b1j + ai2b2j +... + ainbnj. (*)

Позначення .

Приклад. , .

Знайти А В.

Розв’язання: В цьому випадку m = 3, p = 3, n = 2. Нехай С = АВ. Тоді за формулою (*):

 

Отже, .

Зазначимо, що А·В, взагалі кажучи, не дорівнює В·А, навіть якщо обидва добутки мають зміст.

Для визначників квадратних матриць однакового порядку має місце властивість , тобто визначник добутку матриць дорівнює добутку визначників матриць співмножників. Якщо |A| = 0, матриця А називається виродженою. Елементи а11, а22,..., аnn утворюють головну діагональ матриці А порядку n. Матриця, головна діагональ якої складається з одиниць, а інші елементи – нулі, називається одиничною та позначається літерою Е. Ця матриця виконує функцію одиниці при множенні матриць:

, для усіх А..

Обернена матриця

 

Матриця називається оберненою до матриці А та позначається А-1, якщо виконується умова (або еквівалентно ).

Виявляється, що для будь-якої невиродженої матриці А порядку n, існує обернена, яка знаходиться за наступною формулою:

 

,

де Аij – алгебраїчне доповнення елемента аij.

 

Приклад. . Знайти А-1.

Розв’язання: .

Матриця невироджена, тому має обернену. Обчислимо алгебраїчні доповнення.

 

, ,

, ,

, ,

, ,

.

Тоді .

Перевіряючи, переконуємося, що

 

Мінори матриці

Мінором порядку k матриці А називається будь-який визначник, який складається з деяких k рядків та k стовпців матриці А. Мінором першого порядку називається будь-який елемент матриці А.

Ранг матриці

Рангом матриці називається найбільший порядок відмінного від нуля мінора цієї матриці. Ранг матриці позначається rgA.

 

Приклад.

,

Розв’язання: rgА = 1, оскільки усі мінори другого порядку дорівнюють 0, але є ненульові мінори першого порядку.

rgВ = 2, бо єдиний мінор третього порядку - , як легко перевірити, дорівнює нулю, а мінор другого порядку

.

 

Системи m лінійних алгебраїчних рівнянь

зі сталими коефіцієнтами і n невідомими

Розглянемо систему m лінійних рівняньз n невідомими х1, х2,..., хп. Вона має вигляд:

де aij (i = 1, 2, …., m; j = 1, 2, …., n) – відомі коефіцієнти, а b1, b2, …., bm – відомі вільні члени.

Система лінійних рівнянь називається сумісною, якщо вона має принаймні один розв’язок, та несумісною, якщо не має розв’язків.

Введемо позначення

 

, , .

 

Тоді систему рівнянь можна записати в матричній формі

.

Якщо матрицю системи А доповнити матрицею-стовпцем В, отримаємо розширену матрицю системи С:

.

 

Теорема Кронекера-Капеллі

Для сумісності системи лінійних рівнянь необхідно і достатньо, щоб ранг матриці А системи дорівнював рангу розширеної матриці С.

 

Розв’язання системи

Якщо система лінійних рівнянь має рівнянь стільки скільки невідомих і матриця А невироджена, то система має єдиний розв’язок:

,

де А-1 – матриця обернена до матриці А.

Розв’язок такої системи можна знайти також за правилом

Крамера:

; (k = 1, 2, …, n),

де , а - визначник, який отримується з визначника Δ заміною в ньому k-го стовпця стовпцем вільних членів В.

 

Приклад. Розв’язати наступну систему лінійних рівнянь матричним методом та за правилом Крамера:

Розв’язання. Спочатку шукаємо розв’язок матричним методом.

Тут і ,

тоді

.

Обчислюємо усі алгебраїчні доповнення (приклад надано вище) та за їх допомогою записуємо обернену матрицю. Вона буде мати такий вигляд:

тоді

.

Отже: х1 = 0, х2 = х3 = 1.

Використовуючи формули Крамера отримуємо:

;

; ; .

Відповіді, отримані двома методами, співпали.

 

Елементи векторної алгебри



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; просмотров: 888; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 34.203.221.104 (0.045 с.)