Вектори. Означення, операції з векторами

Вектором називається спрямований відрізок. Позначається . А називається початком, В – кінцем. Довжиною вектора є довжина відрізка АВ яка позначається | |. Часто вектор позначається однією маленькою літерою, наприклад, (| | - його довжина). Вектор, у якого початок і кінець співпадають, називається нульовим і позначається .

Два вектора називаються рівними, якщо виконуються 3 умови:

1. Довжини векторів співпадають.

2. Вектори лежать на одній прямій або на паралельних прямих (такі вектори називаються колінеарними).

3. Вектори спрямовані в один бік.

Сума векторів визначається за правилом паралелограма.

Нехай λ – число, – вектор. Добутком λ називається вектор, що задовольняє трьом вимогам:

1. | λ | = | λ | | |.

2. Вектори λ і колінеарні.

3. Якщо λ > 0, вектори λ і спрямовані в один бік, якщо λ < 0 - в протилежні.

Вектор ( 1) позначається та називається вектором протилежним до вектора . Тоді різниця векторів вводиться так:

.

Скалярний добуток двох векторів

Для векторів і їх скалярним добутком називається число, яке дорівнює добутку довжин цих векторів, помноженому на косинус кута між ними:

,

де - кут між векторами і .

Відмітимо: а) скалярний добуток двох векторів дорівнює 0, якщо вектори перпендикулярні або один з множників – нульовий вектор;

б) = . Зміна місць співмножників на скалярний добуток не впливає.

в) .

Дії з векторами, розкладеними за базисом

Координатних ортів

Ортом називається вектор одиничної довжини. Координатний орт - одиничний вектор, спрямований вздовж напрямку осі х, - вздовж осі у, - вздовж осі z.

Орти , , в тривимірному координатному просторі утворюють базис, тобто кожний вектор у цьому просторі єдиним чином подається у вигляді:

,

де а_х, a_y, a_z – деякі числа, які називаються координатами вектора . Інша форма запису: = (а_х, a_y, a_z). Якщо відомі координати точки А(x₁, y₁, z₁) і точки B(x₂, y₂, z₂), то

.

Дії з векторами дуже просто записуються у координатній формі. Нехай: ; ;

тоді

;

;

; .

 

Довжина вектора

Нехай , тоді довжина вектора обчислюється за формулою: .

Кут між двома векторами

 

Кут між двома векторами і знаходиться з співвідношення:

Приклад. Задані вершини А(0, -1, 2), В(3, -1, 1), С(5, 0, 3) трикутника. Знайти довжини сторін АВ і АС та кут між ними з точністю до .

Розв’язання. Спочатку запишемо вектори і :

= (3 – 0; -1 + 1; 1 – 2) = (3, 0, -1), = (5 – 0; 0 + 1; 3 – 2) = (5, 1, 1),

Тоді

 

Значення квадратного кореня та кута А знаходимо за допомогою калькулятора або у таблицях.

Умови паралельності та перпендикулярності

Двох векторів

 

Два вектори паралельні, якщо їхні однойменні координати пропорційні: .

Два вектори перпендикулярні, тоді й тільки тоді, коли

.