Напрямні кути та напрямні косинуси вектора

Напрямні кути , , - це кути, які вектор утворює з додатними напрямками координатних осей (з координатними ортами).

Напрямні косинуси вектора – це косинуси його напрямних кутів. Нехай , тоді:

; ; .

Напрямні косинуси зв’язані співвідношенням

.

 

 

Векторний добуток двох векторів

Векторний добуток і - це вектор , що задовольняє умовам:

1) перпендикулярний до векторів і ;

2) довжина вектора чисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах і ;

3) вектор спрямований так, що найкоротший поворот від вектора до вектора відбувається проти ходу годинникової стрілки якщо дивитися з його кінця. Інакше кажучи, напрямок вектора визначається за правилом гвинта.

Векторний добуток дорівнює , якщо вектори паралельні або один з векторів нульовий.

Відмітимо, що векторний добуток не комутативний:

.

Якщо вектори задані своїми координатами:

= (а_x, a_y, a_z), = (b_x, b_y, b_z),

 

то має місце формула:

.

Площа трикутника

Площа трикутника, побудованого на векторах і , обчислюється за формулою

.

 

Приклад. Знайти площу трикутника з вершинами А(2, 1, -2), В(5, 3, 1), С(3, 4, 2).

Розв’язання. Виділимо два вектори:

; ;

одиниць квадратних.

 

Мішаний добуток трьох векторів.

Мішаним добутком трьох векторів , , називається число, яке дорівнює скалярному добутку вектора на вектор . Мішаний добуток векторів , , позначається . Якщо вектори задані своїми координатами, він обчислюється за формулою:

.

 

Об’єм піраміди

Модуль мішаного добутку дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах-співмножниках, як на ребрах.

Якщо відомі координати вершин S, A, B, C – трикутної піраміди, то її об’єм можна обчислити за формулою

.

Приклад. Задані координати вершин трикутної піраміди:

S(1, 1, -2), A(5, 2, 1), B(3, 5, 1), C(-3, -2, -6). Знайти її об’єм.

Розв’язання. ; ;

. Тоді

 

Елементи аналітичної геометрії

Відстань між двома точками

Нагадаємо, що для двох точок М₁(х₁, у₁) та М₂(х₂, у₂) площини відстань d між ними знаходиться за формулою

,

а відстань між точками М₁(х₁, у_1, z₁) і М₂(х₂, у₂, z₂) простору буде:

.

 

Поділ відрізка у даному відношенні

Нехай відомі координати кінців відрізка АВ: А(х₁, у₁, z₁), В(х₂, у₂, z₂) і відомо, що точка С ділить відрізок АВ у відношенні λ, тобто АС: СВ = λ. Тоді координати точки С(х, у, z) обчислюються за формулами

; ; .

Якщо С – середина відрізка АВ, то λ = 1 і ми отримуємо

; ; .

 

Приклад. Задані точки А(1, 1, 1), В(7, 4, 4). Знайти на відрізку АВ точку С(х, у, z), яка в два рази ближче до А, ніж до В.

Розв’язання. Шукана точка С ділить відрізок АВ у відношенні λ = 1/2. Тоді її координати будуть:

; ; .

Для двомірного простору координата z відсутня.

 

Пряма лінія на площині

Наводимо основні види рівнянь прямої на площині:

 

1. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом , де - кутовий коефіцієнт прямої, тобто тангенс кута, який пряма утворює з додатним напрямком осі , причому цей кут відраховується від осі до прямої проти ходу годинникової стрілки, - ордината точки перетину прямої з віссю .

 

Розглянемо деякі окремі випадки цього рівняння:

а) - пряма проходить через початок координат;

б) - пряма паралельна осі ;

в) , - пряма співпадає з віссю .

Якщо пряма перпендикулярна до осі , її рівняння не записується у вигляді , а має вигляд: , де а – абсциса точки перетину прямої з віссю .

 

2. Рівняння прямої, що проходить через дану точку у даному напрямку.

Нехай відомий кутовий коефіцієнт прямої і координати точки , яка належить прямій. Тоді її рівняння має вигляд:

.

 

3. Рівняння прямої, що проходить через дві дані точки.

Якщо і - точки, які належать прямій, тоді її рівняння

.

 

Приклад. Скласти рівняння прямої, що проходить через точки і .

Розв’язання. Тут , , , , тоді

; ;

; .

 

4. Загальне рівняння прямої.

Рівняння кожної прямої можна записати у вигляді

.

Навпаки, кожному рівнянню першого ступеня з двома змінними відповідає деяка пряма.

Якщо задане рівняння прямої і точка , тоді відстань від точки М до даної прямої обчислюється за формулою:

.

 

Приклад. Знайти відстань від точки М(1, 2) до прямої

3х – 4у + 10 = 0.

Розв’язання. .