Диференційні рівняння другого порядку

- загальний вигляд диференційного рівняння другого порядку. Загальний розв'язок такого рівняння має вигляд , тобто залежить від двох довільних сталих.

Для визначення цих сталих використовуємо початкові умови, тобто відомі значення шуканої функції у та її похідної при даному значенні аргументу .

Нижче розглянемо два види найпростіших диференційних рівнянь другого порядку, які розв’язуються методом зниження порядку.

1. У рівнянні відсутня шукана функція, тобто рівняння має вигляд .

Порядок рівняння знижується шляхом заміни , , де z =z(x) – допоміжна шукана функція.

Приклад. Розв'язати рівняння .

Розв'язання. Нехай , . Тоді . Відокремивши змінні, отримуємо

; .

Тоді або і, нарешті,

- загальний розв'язок рівняння.

2. У рівнянні відсутня незалежна змінна, тобто воно має вигляд .

Порядок рівняння знижується шляхом заміни - нова шукана функція від незалежної змінної у, яка в свою чергу є функція від x.

Для отримуємо співвідношення .

Приклад. Розв'язати рівняння .

Розв'язання. Нехай ; . Тоді .

Відокремивши змінні, одержимо .

Після його інтегрування маємо: .

Або , звідки ,але . Отже .

Відокремивши змінні та проінтегрувавши його, одержимо загальний розв'язок вихідного рівняння

.

 

Лінійні диференційні рівняння другого порядку

Зі сталими коефіцієнтами

Рівняння вигляду називається диференційним рівнянням другого порядку зі сталими коефіцієнтами, якщо р та q – відомі числа, а - відома функція.

Якщо =0, рівняння називається однорідним, у протилежному разі – неоднорідним.

Наприклад, рівняння є однорідним, а рівняння є неоднорідним.

Однорідні. Для розв'язання однорідного рівняння виписуємо так зване характеристичне рівняння .

1. Якщо характеристичне рівняння має два дійсні корені і (), тоді загальний розв'язок однорідного рівняння має вигляд:

.

Приклад. Знайти розв'язок рівняння .

Розв'язання. Характеристичне рівняння має два дійсні корені: , . Отже

.

2. Якщо характеристичне рівняння має однакові дійсні корені , тоді загальний розв'язок однорідного рівняння має вигляд:

.

Приклад. Знайти розв'язок рівняння .

Розв'язання. Характеристичне рівняння має однакові дійсні корені: . Отже

.

3. Якщо дискримінант D характеристичного рівняння від'ємний, воно має комплексні корені вигляду , (тут , , - називають уявною одиницею),тоді загальний розв'язок однорідного рівняння має вигляд:

.

Приклад. Знайти розв'язок рівняння .

Розв'язання. Дискримінант характеристичного рівняння D =16-52=-36. Тут , . Отже

.

 

Неоднорідні. Загальний розв'язок лінійного неоднорідного диференційного рівняння має вигляд , де - загальний розв'язок однорідного рівняння (див. попередній пункт), а - який-небудь частинний розв'язок початкового рівняння. Вигляд залежить від вигляду .

Розглянемо деякі функції у правій частинирівняння.

1. - многочлен степеня п - . Тоді шукаємо у вигляді многочлена того ж степеня п з невідомими коефіцієнтами - , якщо , . Якщо один з коренів характеристичного рівняння дорівнює нулю, то .

Приклад. Знайти розв'язок рівняння .

Розв'язання. Характеристичне рівняння має два дійсні корені: , . Отже, .

шукаємо у вигляді , де А і В – невідомі, оскільки один з коренів характеристичного рівняння дорівнює нулю, а права частина – многочлен першого степеня.

Отже, . Тоді .

Підставляємо та у рівняння: .

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях х у лівій та правій частинах рівняння, одержуємо систему відносно невідомих А та В:

, .

Маємочастинний розв'язок і загальний розв'язок початкового рівняння: .

2. . Тоді , де r – число коренів характеристичного рівняння, які дорівнюють m.

Приклад. Знайти загальний розв'язок рівняння .

Розв'язання. Корені характеристичного рівняння , .

; (тут ,тому r =1).

Знаходимо та :

.

Підставляємо , та у початкове рівняння:

. Звідки А =1, .

Загальний розв'язок рівняння: .

3. . Тоді , якщо корені характеристичного рівняння не дорівнюють , і - в протилежному разі.

Приклад. Знайти загальний розв'язок рівняння .

Розв'язання. Корені характеристичного рівняння , . Отже ; шукаємо у вигляді .

Тоді .

Підставляємо , та у початкове рівняння:

.

Прирівнюючи коефіцієнти при sin2x та cos2x, одержуємо систему:

Відкіля , .

Отже, - частинний розв'язок,

а - загальний розв'язок початкового рівняння.

 

Задача Коши

Знаходження частинного розв'язку диференційного рівняння, який задовольняє початковим умовам, називається задачею Коши.

 

Приклад. Розв'язати рівняння , якщо у (0)=0, .

Розв'язання. Спочатку знаходимо загальний розв'язок рівняння:

; . Тоді , . Отже, . Тоді , . Загальний розв'язок рівняння

.

Для знаходження і використовуємо спочатку умову у (0)=0:

+ =0.

Далі знаходимо : .

Використовуємо умову :

+ =2.

Одержуємо систему

=2; = -1.

Частинний розв'язок диференційного рівняння, який задовольняє початковим умовам, має вигляд: . Тобто задачу Коши розв’язано.