Елементи математичного аналізу

Сталі та змінні величини

 

Величина називається сталою, якщо її значення не змінюється з бігом часу, і змінною, якщо змінюється.

Змінна величина називається обмеженою, якщо її значення за модулем виявляється менше деякого додатного числа за весь час спостереження. У противному разі величина називається необмеженою.

Змінна величина називається зростаючою, якщо її значення з бігом часу не спадає.

Змінна величина називається спадною, якщо її значення з бігом часу не зростає.

Зростаючи та спадні величини називаються монотонними.

 

Нескінченно малі величини та їх властивості

 

Змінна величина називається нескінченно малою, якщо її значення за абсолютною величиною в процесі змінювання стає і надалі залишається менше будь-якого додатного числа.

Зауважимо, що єдина стала нескінченно мала величина це .

Сума, різниця, добуток нескінченно малих величин є нескінченно малі величини. Відношення нескінченно малих величин може бути будь-якою величиною. У випадку відношення нескінченно малих величин ми кажемо, що у нас є невизначеність вигляду .

Границі змінних величин та їх властивості

Стала величина називається границею змінної величини і позначається , якщо їх різниця – нескінченно мала величина.

Відзначимо, що сталі і змінні величини ми будемо позначати першими літерами латинського алфавіту і а нескінченно малі величини першими літерами грецького алфавіту:

Відмітимо наступні властивості границь.

Кожна величина має не більше однієї границі (може не мати жодної).

Границя суми змінних величин дорівнює сумі їх границь, якщо останні існують, тобто якщо і , то .

Аналогічні властивості мають місце для різниці та добутку.

Сталий множник можна виносити з-під знаку границі.

.

Границя відношення змінних величин дорівнює відношенню їх границь, якщо останні існують, та якщо границя знаменника відмінна від нуля.

, .

 

Зокрема, границю відношення двох многочленів, якщо границя знаменника відмінна від , можна знаходити, підставляючи граничне значення в кожний елемент чисельника та знаменника.

Приклад. .

Якщо границі чисельника та знаменника дорівнюють , треба чисельник та знаменник розкласти на множники та скоротити на спільні множники.

 

Приклад.

.

Змінна величина називається нескінченно великою, якщо в процесі змінювання вона за модулем стає і надалі залишається більше будь-якого додатного числа. Позначення: .

Величина, обернена до нескінченно великої, є нескінченно малою, і величина, обернена до нескінченно малої, що не обертається на , є нескінченно великою.

Приклад. .

Для знаходження границі відношення двох многочленів, якщо аргумент прямує до нескінченності, треба розділити чисельник та знаменник на старший степінь незалежної змінної.

Приклад. Знайти .

Розв'язання.

Функція

Кажуть, що на деякій множині дійсних чисел задана функція , якщо кожному значенню із цієї множини поставлено у відповідність одне значення . При цьому називається змінною, або аргументом, а - залежною змінною, або функцією.

Елементарні функції

Елементарними функціями називають: степеневі , показникові , многочлени , раціональні дроби / , тригонометричні: , , , , обернені тригонометричні: , , , , логарифмічні ,. ,

Кожна елементарна функція має природну область визначення.

Приріст

Нехай задана функція . Візьмемо деяке значення аргументу і обчислимо функцію при цьому значенні . Потім візьмемо друге значення аргументу і обчислимо . Тоді приростом незалежної змінної ми називаємо , а приростом функції .

Неперервність функції

Функція називається неперервною в точці , якщо у цій точці має місце рівність

.

Еквівалентні означення неперервності:

1. . Неперервність дозволяє переходити до границі під знаком функції.

2. . Функція неперервна, якщо нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції.

Можна довести, що кожна елементарна функція неперервна у своїй натуральній області визначення. Неперервність функцій використовується при обчисленні границь.

Приклад. Знайти .

Розв'язання. Для знаходження границі треба домножити чисельник і знаменник на вираз спряжений до чисельника

При розв'язанні прикладу ми скористалися неперервністю функції .

Перша чудова границя

Границя відношення синуса нескінченно малого кута до того ж кута, виміряного у радіанах, існує і дорівнює одиниці.

- перша чудова границя.

З першої чудової границі легко отримати наступні дві формули, корисні при розв'язанні прикладів:

де і .

Приклад. Знайти границю .

Розв'язання.

.

Друга чудова границя

Виявляється, що змінна величина має границю, яка позначається і називається другою чудовою границею:

,

де - стала Ейлера – одна з найважливіших констант у математиці.

Інша форма запису другої чудової границі, що зручна при обчисленнях:

.

 

Натуральний логарифми

Логарифм з основою називається натуральним. Замість пишуть .

 

Похідна

 

Похідною функції в точці називається швидкість змінювання функції в цій точці. Воно дорівнює границі відношення приросту функції до приросту аргументу, коли останній прямує до нуля.

Операція знаходження похідної називається диференціюванням функції; функція яка має похідну у цій точці, називається диференційованою у цій точці.

Еквівалентне позначення похідної: , , , .