Плоское (двухосное) напряженное состояние

Рассмотрим элемент, по граням которого действуют растягивающие напряжения и , а третье главное напряжение (рисунок 2.24).

Проведем наклонную площадку (α - сечение) и определим на­пряжения и , которые вызываются растягивающими напряжениями и

По принципу независимости действия сил (суперпозиции):

От действия (рисунок 2.25, а)

От действия (рисунок 2.25, б)

Тогда (2.16)

(2.17)

Наибольшее и наименьшее из всех возможных напряжений в данной точке - это главные напряжения, действующие по площадкам, свободным от касательных напряжений, т.е. при

1) , тогда

2) , тогда

Итак, главные напряжения - это нормальные напряжения, действующие по главным взаимно-перпендикулярным площадкам, причем одно из главных напряжений всегда является наибольшим, а другое наименьшим. Это справедливо и при объемном напряженном состоянии.

Максимальные касательные напряжения будут при , т.е. , :

т.е. равны полуразности главных напряжений и действуют в площад­ках, наклоненных под углом 45° к главным площадкам.

 

Рисунок 2.24 Рисунок 2.25

 

Определим напряжения, действующие по β - площадке, перпен­дикулярной к α - площадке. По аналогии с одноосным растяжением, формулы (2.12) и (2.13), окончательно получим (рисунок 2.26):

Рисунок 2.26

 

(2.16)

(2.17)

(2.18)

(2.19)

Сложим (2.16) и (2.18):

(2.20)

согласно (2.14)

Сумма нормальных напряжений по двум любым взаимно-перпендикулярным площадкам есть величина посто­янная, равная сумме главных напря­жений.

Сравнивая (2.17) и (2.19) имеем:

Закон парности касательных напряжений справедлив и при плос­ком (двухосном) напряженном состоянии.

Рассмотрим два частных случая:

если (рисунок 2.27, а)

то

и

т.е. на всех элементарных площадках, проходящих через рассмат­риваемую точку, нормальное напряжение равно σ, а касательное τ=0.

Такое напряженное состояние называется равномерным двухос­ным растяжением (или сжатием).

Если

тогда ,

а ,

т.е. нормальное напряжение а

а) б)

Рисунок 2.27

 

Если главные напряжения равны по величине, но противо­положны по знаку (по направле­нию), то по площадкам, накло­ненным к ним на угол возникают только касательные напряжения. Такое напряженное состояние называют чистым сдвигом (рисунок 2.27, б).

Совокупность формул (2.16)...(2.19) дает возмож­ность решать прямую задачу плоского напряженного состояния, т.е. по известным главным напряжениям находить нормальные и касательные напряжения в наклонных площадках. При этом угол α всегда отсчитывают от направления алгебраически большего главно­го напряжения (против часовой стрелки), а значения главных напряже­ний подставляют в формулу со своими знаками.

На практике часто имеют дело с обратной задачей, в которой по известным нормальным и касательным напряжениям в наклонных пло­щадках определяют главные напряжения и положение главных площадок.

Из формул (2.16)...(2.19):

(2.21)

,

где α - угол, на который необходимо повернуть нормаль , чтобы

получить направление главного нормального напряжения Знак (-) поставлен потому, что угол отсчитывают от нормали рассматривае­мой площадки к нормали площадки, где действует