Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Кафедра высшей математики

 

 

Рекомендовано

ученым советом

инженерно-экономического

факультета

 

 

Обыкновенные

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

 

 

Методические указания и задания для контрольных работ

для студентов факультета дополнительного профессионального образования

 

 

Ярославль

УДК 517(07)

 

МУ 33-08. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Метод. указания и задания для контрольных работ для студентов факультета дополнительного профессионального образования / Сост.: В.А. Журавлева, Т.П. Чуйко, Л.А. Сидорова. – Ярославль: Изд-во ЯГТУ, 2008. – 48 с.

 

Содержат краткие теоретические сведения по разделу «Дифференциальные уравнения», подробно разобранные типовые задачи, а также 30 вариантов контрольных заданий.

Предназначены для студентов 2 курса всех направлений и специальностей факультета дополнительного профессионального образования. Могут быть полезны при подготовке контрольных работ и выполнении домашних заданий.

 

Илл. 2. Библиогр. 5.

 

 

Рецензенты: кафедра высшей математики Ярославского государственного технического университета;

Н.И. Иванова, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры статистики и математики ЯФ МЭСИ.

 

_______________________________________________________________

План 2008

 

Редактор В.Б. Доронина

 

Подписано в печать 27.04.08. Формат 60х84 1/16. Бумага белая.

Печать ризограф. Усл. печ. л. 2,79. Уч.-изд. л. 2,74.

Тираж 400. Заказ

 

 

Ярославский государственный технический университет

150023, Ярославль, Московский пр., 88

 

Типография Ярославского государственного технического университета

150000, Ярославль, ул. Советская, 14а

ã Ярославский государственный технический университет, 2008

 

Дифференциальные уравнения

Первого порядка

Основные понятия

Сведения из теории

Дифференциальным уравнением называется уравнение, которое содержит независимые переменные, неизвестные функции, зависящие от этих переменных, а также производные неизвестных функций или их дифференциалы.

Если функции, входящие в дифференциальное уравнение, зависят от одной независимой переменной, уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

Наивысший порядок производной от искомой функции, входящей в уравнение, называется порядком этого уравнения.

Уравнение

,

 

называется дифференциальным уравнением первого порядка, где – искомая функция независимой переменной x; – производная этой функции, а F – известная функция, зависящая от .

Если из уравнения можно выразить , то дифференциальное уравнение первого порядка будет иметь так называемый нормальный вид или вид, разрешенный относительно :

 

 

Решением дифференциального уравнения или называется функция , которая, будучи подставленной в это уравнение, обращает его в тождество (то есть верное равенство для всех значений x).

Рассмотрим простейшее дифференциальное уравнение первого порядка

.

 

Решением этого уравнения будет первообразная функции . Все множество решений задается формулой

 

,

 

где – некоторая первообразная функции , а C – произвольная постоянная. Придавая C различные значения, получаем бесчисленное множество функций, являющихся решением дифференциального уравнения. Аналогично и для уравнения. Итак, дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений.

Совокупность всех его решений называется общим решением дифференциального уравнения. В явном виде общее решение можно записать , где C – произвольная постоянная.

В неявном виде общее решение записывается

и называется общим интегралом уравнения.

При решении реальных задач бывает нужно не общее, а частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее некоторым дополнительным условиям, которые называются начальными условиями. Задача о нахождении частного решения дифференциального уравнения при заданных начальных условиях называется задачей Коши и формулируется следующим образом:

Найти решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее условию: при , (начальные условия),

где , – некоторые заданные числа.

Примеры решения задач

1. Найти частное решение уравнения при заданных начальных условиях .

◄ 1) Это простейшее дифференциальное уравнение вида. Его решение получим интегрированием . По таблице интегралов находим общее решение .

2) Для нахождения частного решения подставим в общее решение значения и , получим , отсюда . Подставим найденное значение C в общее решение и получим – частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям. ►

Сведения из теории

Если дифференциальное уравнение имеет вид

 

,

то ононазывается дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Для его решения представим в виде отношения дифференциалов . Разделим обе части уравнения на и умножим на : . Проинтегрируем обе части равенства . Отсюда . Вычислив интегралы, получим общий интеграл уравнения .

Примеры решения задач

1. Найти общее решение уравнения .

◄ Это уравнение можно представить в виде , где ; . Таким образом, это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Представляем в виде , умножаем обе части уравнения на , делим на : . Интегрируем это равенство

– общий интеграл. Разрешим его относительно y: ; – общее решение. ►

2. Найти решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

◄ Надо решить задачу Коши при начальных данных . Разделим обе части уравнения на x: . Правая часть уравнения представлена в виде произведения двух функций и , следовательно, это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем это равенство.

.

.

Для нахождения частного решения надо найти C. Подставим в последнее равенство и :

.

Вернемся к общему решению. Подставим в него . Получим частное решение . Выразим y: – частное решение.►

3. Решить уравнение .

◄ Разделяем переменные: ; . Проинтегрируем последнее равенство (Функция принимает все действительные значения, поэтому постоянную интегрирования можно представить в виде ). По свойствам логарифмов (; ) получим отсюда – общее решение. ►

 

Однородные уравнения

Сведения из теории

Если дифференциальное уравнение записано в нормальном виде и в его правой части присутствует выражение, содержащее искомую функцию в виде отношения , то такое уравнение называется однородным

 

.

 

Оно сводится заменой переменной к уравнению с разделяющимися

переменными, где – новая неизвестная функция. Выразим . Так как , то приводится к виду , ;

– уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем .

Вычислив интегралы, получим общий интеграл и вернемся к старой функции, заменив .

 

Примеры решения задач

1. Решить уравнение .

◄ Разделим обе части уравнения на x: , а затем - на :

.

В правую часть уравнения y и x входят только в виде отношения , то есть данное уравнение является однородным. Делаем замену . Тогда , . Для функции получаем уравнение: или . Приводя к общему знаменателю, получим уравнение с разделяющимися переменными: . Заменим на и разделим переменные .

.

 

Вернемся к y: - общее решение в неявном виде. ►

2. Найти решение дифференциального уравнения .

◄ Разделим равенство почленно на x: . При внесении x под знак квадратного корня получим

или .

В правую часть уравнения y и x входят только в виде отношения , то есть данное уравнение является однородным. Делаем замену . Тогда , . Для функции получаем уравнение: или , которое является уравнением с разделяющимися переменными. Заменим на и разделим переменные . Проинтегрируем .

Вернемся к y: - общее решение в неявном виде.►

 

 

Уравнение Бернулли

Сведения из теории

Уравнение вида

 

называется линейным уравнением первого порядка. Если , то получаем линейное однородное уравнение

 

.

 

Уравнение вида

, .

 

называется уравнением Бернулли.

Уравнения и могут быть решены методом Бернулли, который заключается в нахождении решения в виде произведения двух функций и . Если , то . Подставим решение в уравнение, которое обращается в верное равенство . Сгруппируем члены, вынося общий множитель за скобку:

.

Функцию подберем таким образом, чтобы дифференциальное уравнение для функции было как можно проще. Для этого положим . Выразим ; ; разделим переменные и проинтегрируем . Тогда . При известной функции интеграл вычислим. Возьмем частное решение при .

Вспомним, что . Значит

.

 

При таком подборе функции для функции получается уравнение . Подставив найденную функцию в это уравнение, найдем а, следовательно, и .

Примеры решения задач

1. Решить задачу Коши: , .

◄ Уравнение имеет вид, то есть это линейное уравнение, где ; . Ищем решение в виде ; . Подставим в уравнение y и : .

.

 

Функцию подберем так, чтобы . Тогда для нахождения u останется простое уравнение .

Решим сначала уравнение . Запишем как . Получим . Разделим переменные . Проинтегрируем это равенство . Взяв в качестве функции частное решение при , получим или . Воспользовавшись свойством логарифмов, получим , откуда . Подставим функцию в уравнение . Получим ; умножим обе части этого равенства на : и представим ; разделим переменные и проинтегрируем его . Получим функцию . Тогда общее решение исходного уравнения будет или . Из начальных условий найдем C: ; . Итак, решение задачи Коши . ►

2. Решить уравнение

 

.

 

◄ Приведем уравнение к виду: . Будем искать решение в виде . Тогда . Сгруппируем второй и третий члены левой части, вынесем u за скобку и составим систему

Решаем первое уравнение с разделяющимися переменными

, .

Пусть – частное решение при . или

.

По свойствам логарифмов

1) ; 2) .

Из последнего равенства получим . Отсюда , . Функция v найдена. Подставим ее во второе уравнение системы и найдем u.

. Разделим обе части уравнения на : .

или . . .

Вернемся к решению уравнения и получим . Окончательно получаем: .►

Дифференциальные уравнения

Высших порядков

Основные понятия

Сведения из теории

Общий вид дифференциального уравнения n -го порядка:

 

,

 

где x – независимая переменная, y – искомая функция, зависящая от x.

В общем случае функция находится в результате n последовательных интегрирований. Поэтому общее решение содержит n произвольных постоянных

 

 

и называется общим интегралом или общим решением уравнения.

Если придать каждой произвольной постоянной конкретные значения, то получим частное решение уравнения.

Чтобы из общего решения выделить одно частное решение, необходимо задать начальные условия:

 

, , , …, .

 

Рассмотрим некоторые частные случаи решения уравнения, где n больше единицы.

 

2.2. Простейшее дифференциальное уравнение n -го порядка

Сведения из теории

Дифференциальное уравнение вида

 

 

решается n- кратным интегрированием:

,

,

…………..

.

 

Примеры решения задач

1. Решить уравнение .

◄ .

.

.►

2. Решить уравнение .

◄ Приведем уравнение к виду. . Воспользуемся формулой двойного угла и сократив дробь в правой части на , получим . Проинтегрируем трижды это уравнение.

.

.

.►

Уравнение второго порядка,

Сведения из теории

Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка

 

.

 

Решить это уравнение можно понижением порядка. Для этого введем замену , тогда .

Примеры решения задач

1. Решить задачу Коши .

◄ Так как уравнение не содержит зависимой переменной y, то для понижения порядка введем замену , тогда . Подставим в уравнение

.

Разделим переменные и проинтегрируем.

.

Для нахождения подставим значения и . Откуда . Вернемся к полученному равенству: или . Это простейшее дифференциальное уравнение. . Для нахождения подставим : . Таким образом, частное решение примет вид . Задача Коши решена. ►

 

Уравнение второго порядка,

не содержащее явно независимой переменной x

Сведения из теории

 

– дифференциальное уравнение второго порядка этого типа. Понижаем порядок с помощью замены , тогда

, но , отсюда .

 

Примеры решения задач

 

1. Решить дифференциальное уравнение .

◄ Уравнение не содержит явно независимой переменной . Делаем замену , тогда . Подставив это выражение в уравнение, получим уравнение с разделяющимися переменными для функции . . Разделим переменные и проинтегрируем

. .

Таким образом, и для функции y получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными или . Разделим переменные . Так как , то .

Проинтегрируем уравнение:

.

или . ►

Комплексные числа

Сведения из теории

Комплексным числом c называется упорядоченная пара действительных чисел и обозначается . Комплексное число можно изобразить точкой на координатной плоскости (см. рисунок). Действительное число a называется действительной частью комплексного числа и обозначается . Действительное число b называется мнимой частью комплексного числа и обозначается . Суммой и произведением двух комплексных чисел и являются комплексные числа, которые определяются следующим образом:

 

, .

 

Действительные числа a содержатся в классе комплексных чисел в качестве пар .

Мнимой единицей называется число . Оно удовлетворяет соотношению . Каждое комплексное число может быть записано в виде суммы действительного числа и чисто мнимого числа . Запись называется алгебраической формой комплексного числа.

Два комплексных числа и называются сопряженными комплексными числами.

Примеры решения задач

 

Вспомним формулы для решения квадратного уравнения . Сначала вычислим дискриминант .

Если , то уравнение имеет два разных действительных корня

и .

Если , то уравнение имеет два одинаковых действительных корня (или один корень кратности два) .

Если , то уравнение имеет два сопряженных комплексных корня

, .

1. Решить квадратное уравнение .

◄ Вычислим дискриминант для данного уравнения: уравнение имеет два разных действительных корня и .►

2. Решить квадратное уравнение .

◄ . Так как , то это уравнение имеет два сопряженных комплексных корня:

, ,

для которых является действительной частью, а - мнимой. ►

 

Основные понятия

Сведения из теории

Общий вид линейного однородного уравнения n -го порядка

 

 

Теорема. Если – линейно независимые частные решения уравнения, то есть общее решение этого уравнения, где – произвольные постоянные величины. Совокупность n линейно независимых частных решений уравнения называется фундаментальной системой решений.

Для нахождения общего решения уравнения как линейной комбинации частных решений с постоянными коэффициентами составим характеристическое уравнение n -ой степени:

.

Решив его, получим n корней: . В случае различных корней фундаментальная система решений имеет вид: .

Второго порядка

Сведения из теории

Уравнение вида

 

 

называется линейным однородным уравнением второго порядка. Коэффициенты – действительные числа.

Линейные однородные уравнения обладают следующим свойством:

линейная комбинация решений линейного однородного уравнения также является решением этого уравнения. Если – частные решения, то , где – любые числа, тоже решение данного уравнения. Но для того, чтобы из частных решений и можно было сформировать общее решение, нужно чтобы функции и были линейно независимы, то есть для них невозможно записать равенство , где – некоторое число, отличное от нуля.

Система линейно независимых частных решений и называется фундаментальной системой решений уравнения. Общее решение уравнения имеет вид , где – фундаментальная система решений, а – произвольные постоянные.

Дифференциальному уравнению второго порядка можно поставить в соответствие алгебраическое уравнение второй степени с теми же коэффициентами

 

.

 

Уравнение называется характеристическим уравнением для уравнения.

Если при решении характеристического уравнения получим , то есть два действительных и различных корня , тогда частными решениями дифференциального уравнения будут функции и . При эти функции нельзя связать равенством , где . Следовательно, эти функции линейно независимы и образуют фундаментальную систему решений уравнения. Тогда его общее решение будет иметь вид

 

,

 

где и – произвольные постоянные.

Если для уравнения , то есть , тогда частными решениями дифференциального уравнения будут функции и , а его общее решение имеет вид .