Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и специальными

ПРАВЫМИ ЧАСТЯМИ

Сведения из теории

Уравнение вида

 

,

 

где – постоянные действительные числа, называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами n-го порядка, решением которого является функция

 

,

 

где общее решение линейного однородного уравнения, частное решение.

Для нахождения используют метод подбора решения. Этот метод может быть использован лишь в том случае, если – функция, являющаяся правой частью уравнения имеет вид

 

,

 

где , – многочлены степеней k и l соответственно.

Частное решение такого уравнения можно искать в виде

 

,

 

где , – многочлены с неопределенными (буквенными) коэффициентами степени ; показатель , если корни характеристического уравнения не совпадают с , и равно кратности корня p характеристического уравнения, если . Заметим, что при решении конкретных задач коэффициенты многочленов и обычно удобнее обозначать не одной буквой с индексом, как выше, а разными буквами, например

 

Рассмотрим некоторые частные случаи:

1. Пусть , где – многочлен степени n. Тогда частное решение можно представить в виде , где – многочлен той же степени, что и , а r – число корней характеристического уравнения, равных нулю.

 

2. Пусть , тогда , где r – число корней характеристического уравнения, равных α.

 

3. Если включает в себя функции и , то этот случай рассматривался выше в общем виде.

 

4. Пусть правая часть уравнения представляет собой сумму двух функций , каждая из которых соответствует виду, тогда решение уравнения имеет вид: , где и – частные решения уравнения, соответствующие и . Количество слагаемых в правой части может быть любым.

 

Примеры решения задач

1. Решить уравнение .

◄ Это линейное неоднородное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Соответствующее линейное однородное уравнение: . Его характеристическое уравнение имеет корни , тогда .

Правая часть неоднородного уравнения – многочлен второй степени, частный случай правой части вида с . Так как , а характеристическое уравнение не имеет корня равного 0, то и решение надо искать в виде многочлена второй степени: , где A, B, C неизвестные коэффициенты, которые надо найти. Подставляя , и в исходное уравнение, получим

 

.

 

Представим левую часть в виде многочлена второй степени:

 

.

 

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях, получим систему .

 

Таким образом, .

 

Общее решение имеет вид .►

 

2. Решить уравнение .

◄ Используя решение предыдущего примера, запишем

 

.

 

Составим . Так как – многочлен первой степени, умноженный на , где , то , так как является корнем характеристического уравнения, причем один раз. Отсюда частное решение неоднородного уравнения ищем в виде . Вычислим его производные и подставим в уравнение, оформив эти процедуры в виде следующей схемы, где слева коэффициенты при функции и ее производных в дифференциальном уравнении

 

–5

 

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях, и решаем полученную систему уравнений.

 

.

 

Общее решение . ►

 

3. Решить уравнение .

◄ Найдем . Для этого решим характеристическое уравнение имеет корни , . . Для составления рассмотрим ; . . Но таких чисел нет среди корней характеристического уравнения, следовательно, . (A и B – многочлены нулевой степени, что соответствует коэффициенту 1 в правой части).

 

-9
	или

 

Приравнивая коэффициенты при и в левой и правой частях этого равенства, получаем .

Общее решение .►