Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Линейные однородные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами
Основные понятия Сведения из теории Общий вид линейного однородного уравнения n -го порядка
Теорема. Если – линейно независимые частные решения уравнения, то есть общее решение этого уравнения, где – произвольные постоянные величины. Совокупность n линейно независимых частных решений уравнения называется фундаментальной системой решений. Для нахождения общего решения уравнения как линейной комбинации частных решений с постоянными коэффициентами составим характеристическое уравнение n -ой степени: . Решив его, получим n корней: . В случае различных корней фундаментальная система решений имеет вид: . Линейные однородные дифференциальные уравнения Второго порядка Сведения из теории Уравнение вида
называется линейным однородным уравнением второго порядка. Коэффициенты – действительные числа. Линейные однородные уравнения обладают следующим свойством: линейная комбинация решений линейного однородного уравнения также является решением этого уравнения. Если – частные решения, то , где – любые числа, тоже решение данного уравнения. Но для того, чтобы из частных решений и можно было сформировать общее решение, нужно чтобы функции и были линейно независимы, то есть для них невозможно записать равенство , где – некоторое число, отличное от нуля. Система линейно независимых частных решений и называется фундаментальной системой решений уравнения. Общее решение уравнения имеет вид , где – фундаментальная система решений, а – произвольные постоянные. Дифференциальному уравнению второго порядка можно поставить в соответствие алгебраическое уравнение второй степени с теми же коэффициентами
.
Уравнение называется характеристическим уравнением для уравнения. Если при решении характеристического уравнения получим , то есть два действительных и различных корня , тогда частными решениями дифференциального уравнения будут функции и . При эти функции нельзя связать равенством , где . Следовательно, эти функции линейно независимы и образуют фундаментальную систему решений уравнения. Тогда его общее решение будет иметь вид
,
где и – произвольные постоянные.
Если для уравнения , то есть , тогда частными решениями дифференциального уравнения будут функции и , а его общее решение имеет вид . Если же для уравнения , то оно имеет комплексно сопряженные корни , тогда фундаментальную систему решений уравнения образуют функции и , а общее решение дифференциального уравнения имеет вид: . Примеры решения задач 1. Решить задачу Коши.
.
◄ Составим характеристическое уравнение: . ; , . Итак, его корни , действительны и различны. Следовательно, общее решение
,
а значит . В два последних равенства подставим начальные условия и получим систему уравнений относительно и :
откуда находим . Таким образом, решение задачи Коши имеет вид .► 2. Решить уравнение . ◄ Характеристическое уравнение , откуда – корень кратности 2.
– общее решение. ►
3. Решить уравнение . ◄ Решим характеристическое уравнение . . , . Фундаментальная система решений: ; .
– общее решение. ►
4. Решить уравнение . ◄ Характеристическое уравнение . Откуда или . Корни уравнения: , . Поэтому фундаментальная система решений: ; ; . Общее решение .►
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; просмотров: 171; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 44.199.212.254 (0.021 с.) |