Линейные уравнения первого порядка.

Уравнение Бернулли

Сведения из теории

Уравнение вида

 

называется линейным уравнением первого порядка. Если , то получаем линейное однородное уравнение

 

.

 

Уравнение вида

, .

 

называется уравнением Бернулли.

Уравнения и могут быть решены методом Бернулли, который заключается в нахождении решения в виде произведения двух функций и . Если , то . Подставим решение в уравнение, которое обращается в верное равенство . Сгруппируем члены, вынося общий множитель за скобку:

.

Функцию подберем таким образом, чтобы дифференциальное уравнение для функции было как можно проще. Для этого положим . Выразим ; ; разделим переменные и проинтегрируем . Тогда . При известной функции интеграл вычислим. Возьмем частное решение при .

Вспомним, что . Значит

.

 

При таком подборе функции для функции получается уравнение . Подставив найденную функцию в это уравнение, найдем а, следовательно, и .

Примеры решения задач

1. Решить задачу Коши: , .

◄ Уравнение имеет вид, то есть это линейное уравнение, где ; . Ищем решение в виде ; . Подставим в уравнение y и : .

.

 

Функцию подберем так, чтобы . Тогда для нахождения u останется простое уравнение .

Решим сначала уравнение . Запишем как . Получим . Разделим переменные . Проинтегрируем это равенство . Взяв в качестве функции частное решение при , получим или . Воспользовавшись свойством логарифмов, получим , откуда . Подставим функцию в уравнение . Получим ; умножим обе части этого равенства на : и представим ; разделим переменные и проинтегрируем его . Получим функцию . Тогда общее решение исходного уравнения будет или . Из начальных условий найдем C: ; . Итак, решение задачи Коши . ►

2. Решить уравнение

 

.

 

◄ Приведем уравнение к виду: . Будем искать решение в виде . Тогда . Сгруппируем второй и третий члены левой части, вынесем u за скобку и составим систему

Решаем первое уравнение с разделяющимися переменными

, .

Пусть – частное решение при . или

.

По свойствам логарифмов

1) ; 2) .

Из последнего равенства получим . Отсюда , . Функция v найдена. Подставим ее во второе уравнение системы и найдем u.

. Разделим обе части уравнения на : .

или . . .

Вернемся к решению уравнения и получим . Окончательно получаем: .►

Дифференциальные уравнения

Высших порядков

Основные понятия

Сведения из теории

Общий вид дифференциального уравнения n -го порядка:

 

,

 

где x – независимая переменная, y – искомая функция, зависящая от x.

В общем случае функция находится в результате n последовательных интегрирований. Поэтому общее решение содержит n произвольных постоянных

 

 

и называется общим интегралом или общим решением уравнения.

Если придать каждой произвольной постоянной конкретные значения, то получим частное решение уравнения.

Чтобы из общего решения выделить одно частное решение, необходимо задать начальные условия:

 

, , , …, .

 

Рассмотрим некоторые частные случаи решения уравнения, где n больше единицы.

 

2.2. Простейшее дифференциальное уравнение n -го порядка

Сведения из теории

Дифференциальное уравнение вида

 

 

решается n- кратным интегрированием:

,

,

…………..

.

 

Примеры решения задач

1. Решить уравнение .

◄ .

.

.►

2. Решить уравнение .

◄ Приведем уравнение к виду. . Воспользуемся формулой двойного угла и сократив дробь в правой части на , получим . Проинтегрируем трижды это уравнение.

.

.

.►

Уравнение второго порядка,