Правило изображения производных

Производные функции аргумента t (имеющего смысл времени) по традиции, идущей в механике от Ньютона, будем обозначать точкой: – первая производная, – вторая производная и т.д.

Если , то

 

 

Это означает, что операции дифференцирования оригиналов соответствует гораздо более простая операция умножения на аргумент p для изображений.

 

Операционный метод решения линейных

Дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Рассмотрим задачу Коши для линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами[1]

 

.

 

применим к обеим частям уравнения преобразование Лапласа. Пусть . Воспользуемся линейностью преобразования Лапласа, формулами для изображения производных и начальных условий. Получим уравнение для нахождения неизвестного нам изображения

.

Вместо линейного дифференциального уравнения для оригинала получили линейное алгебраическое уравнение для его изображения . Оно легко решается:

.

Найдя по изображению оригинал , мы получим искомое решение.

Примеры решения задач

1. Найти изображения следующих функций:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

◄ а) По формуле 3 таблицы , а по формуле 1 таблицы . По свойству линейности . Таким образом, изображение функции является функция .

б) По формуле 4 таблицы .

в) По формуле 2 таблицы .

г) По формулам 5 и 6 таблицы

, .

По свойству линейности .

д) По формулам 7 и 8 таблицы

, .

По свойству линейности .►

 

2. По заданным изображениям найти их оригиналы:

а) ; б) ; в) .

◄а) Подгоним под формулу 4 таблицы с

.

Итак, – оригинал для .

б) .

По формулам 7 и 6 , .

По свойству линейности .

в) Для нахождения оригинала дроби вспомним, что мы умеем представлять «сложные» дроби в виде суммы простейших. Для этого сначала разложим знаменатель на множители. Квадратное уравнение имеет корни и . Таким образом, и дробь имеет вид

.

Её разложение в сумму простейших дробей имеет вид

,

где коэффициенты подлежат определению (каждому множителю в знаменателе в левой части соответствует простейшая дробь в правой части). Приведём правую часть этого равенства к общему знаменателю

и приравняем числители

.

Положим здесь p равным корням знаменателя

Итак,

.

 

По формуле (3) таблицы

 

.

 

Из и, учитывая линейность преобразования Лапласа, получаем .►

 

3. Найти решение задачи Коши

.

◄ Пусть – искомое решение, а – его изображение. По формулам с учетом начальных условий получаем изображение производных

По формуле (3) таблицы . Применим к обеим частям уравнения преобразование Лапласа, используя его линейность и найденные изображения. Получим уравнение для нахождения :

или ,

,

.

Отсюда

.

Оригинал этой функции – искомое решение найден в примере 2: . ►

4. Найти решение задачи Коши

.

◄ Пусть . По формуле с учетом начальных условий . По формуле (4) таблицы . Применим к обеим частям уравнения преобразование Лапласа

или .

Откуда .

 

Полученную дробь разложим на простейшие. Заметим, что множитель не имеет действительных корней и на линейные множители не раскладывается, а корень имеет кратность 2. В этом случае разложение на простейшие дроби имеет вид

.

.

 

Запишем правую часть равенства в виде стандартного многочлена (то есть расположенного по убывающим степеням p):

.

 

Используя теорему о равенстве многочленов, приравняем коэффициенты при одинаковых степенях левой и правой частей уравнения:

.

 

По формулам (6), (3) и (4) таблицы

.

.

.►

Список литературы

1. Бугров, Я.С. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. – М.: Наука, 1985. – 464с.

 

2. Пискунов, П.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов». Т. 2, 13 изд., М.: Наука, 1985. - 560 с.

 

3. Сборник задач по высшей математике для вузов. Ч.2. Специальные разделы математического анализа / Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1986. – 366 с.

 

4. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – 5-е изд., исп. – М.: Высшая школа, 1999. – 304 с.

 

5. Краснов, М.Л. Сборник задач по дифференциальным уравнениям / М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко. - М.: Высшая школа, 1978, - 388с.

 

ПРИЛОЖЕНИЕ А

Таблица соответствий оригиналов и изображений

Номер формулы	Оригиналы f (t)	Изображения F (p)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.

 

Задания для контрольной работы

 

1-11. Решить дифференциальные уравнения.

 

12. Решить систему дифференциальных уравнений.

 

13. Найти изображение.

 

14. Решить задачу Коши операционным методом.

Вариант 1

1. .	2. .
3. .	4. .
5. .	6. .
7. .	8. .
9. .	10. .
11. .	12.
13.	14.

Вариант 2

1. .	2. .
3. .	4. .
5. .	6. .
7. .	8. .
9. .	10. .
11. .	12.
13.	14.

Вариант 3

1. .	2. .
3. .	4. .
5. .	6. .
7. .	8. .
9. .	10. .
11.	12.
13.	14.

Вариант 4

1. .	2. .
3. .	4. .
5. .	6. .
7. .	8. .
9. .	10. .
11.	12.
13.	14.

Вариант 5

1. .	2. .
3. .	4. .
5. .	6. .
7. .	8. .
9. .	10. .
11.	12.
13.	14.

Вариант 6

1. .	2. .
3. .	4. .
5. .	6. .
7. .	8. .
9. .	10. .
11.	12.
13.	14.

Вариант 7

1. .	2. .
3. .	4. .
5. .	6. .
7. .	8. .
9. .	10. .
11.	12.
13.	14.

Вариант 8

1. .	2. .
3. .	4. .
5. .	6. .
7. .	8. .
9. .	10. .
11.	12.
13.	14.

Вариант 9

1. .	2. .
3. .	4. .
5. .	6. .
7. .	8. .
9. .	10. .
11.	12.
13.	14.

Вариант 10

 

1. .	2. .
3. .	4. .
5. .	6. .
7. .	8. .
9. .	10. .
11. .	12.
13.	14.

Вариант 11

 

1. .	2. .
3. .	4. .
5. .	6. .
7. .	8. .
9. .	10. .
11. .	12.
13.	14.

Вариант 12

1. .	2. .
3. .	4. .
5. .	6. .
7. .	8. .
9. .	10. .
11.	12.
13.	14.

Вариант 13

1. .	2. .
3. .	4. .
5. .	6. .
7. .	8. .
9. .	10. .
11.	12.
13.	14.

Вариант 14

1. .	2. .
3. .	4. .
5. .	6. .
7. .	8. .
9. .	10. .
11.	12.
13.	14.

Вариант 15

1. .	2. .
3. .	4. .
5. .	6. .
7. .	8. .
9. .	10. .
11. .	12.
13.	14.

Вариант 16

1. .	2. .
3. .	4. .
5. .	6. .
7. .	8. .
9. .	10. .
11.	12.
13.	14.

Вариант 17

1. .	2. .
3. .	4. .
5. .	6. .
7. .	8. .
9. .	10. .
11.	12.
13.	14.

Вариант 18

1. .	2. .
3. .	4. .
5. .	6. .
7. .	8. .
9. .	10. .
11. .	12.
13.	14.

Вариант 19

1. .	2. .
3. .	4. .
5. .	6. .
7. .	8. .
9. .	10. .
11. .	12.
13.	14.

Вариант 20

 

1. .	2. .
3. .	4. .
5. .	6. .
7. .	8. .
9. .	10. .
11. .	12.
13.	14.

Вариант 21

1. .	2. .
3. .	4. .
5. .	6. .
7. .	8. .
9. .	10. .
11. .	12.
13.	14.

Вариант 22

1. .	2. .
3. .	4. .
5. .	6. .
7. .	8. .
9. .	10. .
11. .	12.
13.	14.

Вариант 23

1. .	2. .
3. .	4. .
5. .	6. .
7. .	8. .
9. .	10. .
11.	12.
13.	14.

Вариант 24

1. .	2. .
3. .	4. .
5. .	6. .
7. .	8. .
9. .	10. .
11.	12.
13.	14.

Вариант 25

1. .	2. .
3. .	4. .
5. .	6. .
7. .	8. .
9. .	10. .
11. .	12.
13.	14.

Вариант 26

1. .	2. .
3. .	4. .
5. .	6. .
7. .	8. .
9. .	10. .
11.	12.
13.	14.

Вариант 27