Не содержащее явно искомой функции

Сведения из теории

Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка

 

.

 

Решить это уравнение можно понижением порядка. Для этого введем замену , тогда .

Примеры решения задач

1. Решить задачу Коши .

◄ Так как уравнение не содержит зависимой переменной y, то для понижения порядка введем замену , тогда . Подставим в уравнение

.

Разделим переменные и проинтегрируем.

.

Для нахождения подставим значения и . Откуда . Вернемся к полученному равенству: или . Это простейшее дифференциальное уравнение. . Для нахождения подставим : . Таким образом, частное решение примет вид . Задача Коши решена. ►

 

Уравнение второго порядка,

не содержащее явно независимой переменной x

Сведения из теории

 

– дифференциальное уравнение второго порядка этого типа. Понижаем порядок с помощью замены , тогда

, но , отсюда .

 

Примеры решения задач

 

1. Решить дифференциальное уравнение .

◄ Уравнение не содержит явно независимой переменной . Делаем замену , тогда . Подставив это выражение в уравнение, получим уравнение с разделяющимися переменными для функции . . Разделим переменные и проинтегрируем

. .

Таким образом, и для функции y получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными или . Разделим переменные . Так как , то .

Проинтегрируем уравнение:

.

или . ►

Комплексные числа

Сведения из теории

Комплексным числом c называется упорядоченная пара действительных чисел и обозначается . Комплексное число можно изобразить точкой на координатной плоскости (см. рисунок). Действительное число a называется действительной частью комплексного числа и обозначается . Действительное число b называется мнимой частью комплексного числа и обозначается . Суммой и произведением двух комплексных чисел и являются комплексные числа, которые определяются следующим образом:

 

, .

 

Действительные числа a содержатся в классе комплексных чисел в качестве пар .

Мнимой единицей называется число . Оно удовлетворяет соотношению . Каждое комплексное число может быть записано в виде суммы действительного числа и чисто мнимого числа . Запись называется алгебраической формой комплексного числа.

Два комплексных числа и называются сопряженными комплексными числами.

Примеры решения задач

 

Вспомним формулы для решения квадратного уравнения . Сначала вычислим дискриминант .

Если , то уравнение имеет два разных действительных корня

и .

Если , то уравнение имеет два одинаковых действительных корня (или один корень кратности два) .

Если , то уравнение имеет два сопряженных комплексных корня

, .

1. Решить квадратное уравнение .

◄ Вычислим дискриминант для данного уравнения: уравнение имеет два разных действительных корня и .►

2. Решить квадратное уравнение .

◄ . Так как , то это уравнение имеет два сопряженных комплексных корня:

, ,

для которых является действительной частью, а - мнимой. ►