Метасистема для вывода уравнения процесса

При применении формально-аксиоматического метода принято выделять объект исследования - конструируемую систему или процесс – и метасисиему – инструментарий, используемый для этого конструирования. В нашем случае при таком выводе в качестве системы, объекта исследования рассматривается уравнение процесса, то инструментомдля такого выводабудет метасистема, определяемая набором мета-аксиом (требований) и мета-правил вывода. Поэтому нам надо приступить к выдвижению этих наиболее существенных требований.

 

Итак, для определения вида уравнения процесса мы выдвигаем следующие требования.

1. Свойство самоподобия являетсяодним из существенных свойств фракталов. Поэтому его необходимо "включить" в разрабатываемый математический инструментарий, а для этого потребовать, чтобы функциональные зависимости всех переменных, входящих в уравнение процесса, были определены на комплексной плоскости в классе так называемых аналитических функций [23].

2. Итеративный процесс "развивается" дискретно во времени , т. е. в фиксированные моменты времени, когда . Поэтому функционал такого процесса дискретен, должен быть формально задан комплексным выражением, зависящим от комплексных переменных и должен представлять собой "цепочку" рекурсивных дискретных преобразований .

3. Сценарий развития итеративного процесса должен учитывать "настройку" на конкретные статистические данные обрабатываемой выборки. Суть такой обработки сводиться к оценке параметров, - например, таких как исчисление средних величин, оценка их мер рассеяния, построение для них экспериментальных распределений вероятностей случайных событий, выдвижение и проверка для их различных статистических гипотез о характере распределений, с использованием для этого различных моделей функций распределения вероятностей и проведением оценки их параметров.

4. Функционал уравнения итеративного процесса должен учитывать в своей динамике общий ("кумулятивный") эффект влияния, который оказывают на процесс центры метастабильных состояний. Поэтому в обработку данных в ходе этого процесса необходимо включить фактор, учитывающий это существенное свойство, и определить для него координаты наборов аттракторов. Оценки этих наборов можно вычислить уже при обработке выборок и построении для них экспериментальных распределений вероятностей случайных событий.

5. Специфика рассматриваемого итеративного процесса связана с генерацией фрактальных множеств предметных величин и сопряженных с ними "логистических" величин - величин функции принадлежности. Поэтому в разрабатываемый инструментарий для построения уравнения итеративного процесса должны быть включены следующие факторы:

· "предметный" фактор,

· "логистический" фактор,

· "статистический" фактор ( как "память о прошлом" ),

· стохастический фактор или фактор хаоса, который привносит в рекурсивную статистику все новые и новые изменения, и поэтому его можно также назвать фактором "забывания прошлого", локальной неустойчивостью,

· фактор "кумулятивного влияния" аттракторов на ход динамики итеративного процесса и

· фактор времени.

 

6. Необходимо выбрать такую форму уравнения итерируемого процесса, чтобы в ней учитывалась упомянутая диллема "рекурсия-диалектика".

7. Помимо приведенных выше требований (мета-аксиом) 1 – 5, нам надо также определить и мета-правило вывода, т. е. правило для вывода уравнения процесса. На основе этого правила в системе или процессе должны учитываться переходы из одного состояния в другое. Существенным свойством такого правила,учитывающего переходы, на наш взгляд, должна быть инвариантность некой мета-формулы, определяемой из перечисленных блоков факторов и задающего при выводе определенный вид симметрии - некий закон сохранения, - например, закон неизменности (инвариантности) ” выбранной ” мета-формулы, выражение которой включает в себя функциональную зависимость блока перечисленных факторов и сохраняется во времени

Наш выбор формы этого закона инвариантности определяется формулами: и , а его интерпретация гласит, что полная производная этого выражения от времени равна нулю.

 

Ввиду сложности выполняемых преобразований и вывода, мы осуществим вначале вывод уравнения процесса в дифференциальной форме , а затем преобразуем его к дискретной, разностной форме

 

Вывод уравнения процесса

Определим теперь явно формальный вид уравнения итерируемого процесса для совокупности рассматриваемых факторов. Под комплексной переменной , включаемой в уравнение процесса мы будем понимать

, где вещественная - предметная переменная, а - ее волатильность (изменчивость).

Для формализации "логистического" фактора мы используем вектор-функцию принадлежности, вид которой мы определили ранее в рамках нечеткой трехзначной логики[24]. В этой трехзначной логике нами рассматривается векторный вариант функции принадлежности (где нижний индекс mf расшифровывается как membership function), состоящей из трех компонент: . Каждая из компонент этой функции связана с одним из состояний нечеткой истинности: , соответственно, – нечеткой "правдой", нечеткой "ложью" и нечеткой "неопределенностью". Логические переменные для этих состояний должны удовлетворять, по крайней мере, трем условиям:

1. принадлежат интервалу значений [0.1];

2. удовлетворяют нечеткому " правилу исключенного нечеткого четвертого состояния": ;

3. функция состоит из трех компонент и задается одним из трех способов: в виде таблицы, в виде графика или в виде формулы.

Далее для краткости в рамках этой статьи мы будем обозначать эту трехкомпонентную и зависящую от времени функцию принадлежности просто как или , или , учитывая, что в рамках итерационного процесса время рассматривается как дискретное, т. е. как последовательность натуральных чисел .

Компонента - " false" на графике может быть "опущена", т. к. она становится зависимой переменной при обязательном выполнении условия: . Воспользовавшись, этим и учитывая требования №1, можно легко преобразовать ее к комплексному виду, содержащему две компоненты: , где: - мнимая единица, - нечеткая "правда" для -ой итерации, а - соответствующая ей нечеткая "неопределенность".

На момент начальные значения компонент - и функция принимает вид: . Соответственно а на момент времени значения компонент - , а функция - .

 

Функция "кумулятивного влияния" аттракторов на процесс итерации принимает общий вид:

Для числа аттракторов эта формула соответственно принимает вид:

;

;

...

;

...

.

Исходное уравнение инварианта имеет вид: , где числитель определяется выражением , а знаменатель – выражением .

Входящий в уравнение статистический фактор определим как :

- функция плотности распределения вероятностей случайных событий, учитывающая стохастичность процессов "включением" степенных зависимостей в характер распределений при , а

- нормировочный множитель данной функции распределения, зависящий от параметра типа стабильности ;

- параметры функции плотности распределения вероятностей;

При параметре формула принимает вид:

.

 

При параметре эти функции распределения вероятностей принимают соответственно более простой модифицированный вид[25]:

 

и

.

 

Обратим внимание на то, что кажущаяся простота приведенных нами формул для обманчива. Так, например, при выборе величин параметров: , и , эта формула для примет вид:

 

, а

 

формула производной логарифма функции , после преобразования ее к дискретной форме, примет вид выражения [26]:

 

Вид этой функции усложнится, если выборать величин ее параметров: , и Для этого варианта формула примет уже более сложный вид:

 

Формула производной логарифма этой функции , после преобразования ее к дискретной форме примет вид дискретного выражения :

 

При дальнейшем увеличении параметров , и вид выражения для станет настолько сложным, что на ее представление потребуется уже несколько десятков, а то и сотен,.страниц.

 

Выражение, стоящее в знаменателе инварианта: , - функция хаоса. Она имеет общий вид:

, где:

- функция амплитуды хаоса, зависящая от времени

- параметр хаоса под знаком экспоненты.

Напомним еще раз, что в рамках этой статьи мы не рассматриваем сам метод измерения хаоса, основанный на исчислении функциональной зависимости и ее компонентов и . Однако для того, чтобы представить в дискретной форме выражение и затем выполнить его подстановку в соответствующую дискретную форму уравнения итерируемого процесса, нам потребуется выполнить ряд преобразований с этой компонентой функции хаоса, чтобы привести ее вид к форме степенного полинома. Обоснуем необходимость выполнения этих преобразований. Их суть сводится к следующему.

При разработке комплекса программ для измерения хаоса мы учитывали требование, что форма зависимости амплитуды хаоса от времени может быть любой. Конкретный вид этой формы зависимости предопределяется характером, спеификой обрабатываемых данных. Для проведения измерений хаоса мы разработали комплекс программ, удовлетворяющий, в том числе, и этому требованию. Технология процесса обработки данных этого программного комплекса включает 200 программ и дает возможность осуществления диалогового режима, позволяющего строить различные сценарии обработки данных и учитывать их специфику.

На одном из завершающих этапов этого технологического процесса выполняется процедура, которая формирует формализованную нейронную сеть. Производится ее обучение, а затем на ее основе проводится дальнейшая обработка данных. Результатом выполнения такой нейросетевой процедуры является набор данных, представляющий зависимость в табличном виде.

Формализованные нейронные сети имеют вход и выход. Процесс обработки информации с помощью обученных нейронных сетей связан с преобразованиями входных данных в выходные. Процесс обучения нейронных сетей на тестовых наборах данных – это, по сути, формирование связи "входной сигнал - выходной сигнал", когда алгоритм обработки сети задается в неявном виде. Таким образом нейронную сеть можно обучить выполнять эти преобразования по любой (скрытой вначале, но выявленной в результате обучения) неявной "функциональной зависимости".

Как известно из математики, функция может задаваться таблично, в виде формулы или в виде графика. Без особой сложности можно представить зависимость амплитуды хаоса от времени и в виде формулы. Для этого достаточно, например, применить методы фитирования (сглаживания) с подбором различных моделей регрессии. Обычно при установлении вида зависимости регрессий используются полиномы различных степеней. Общий вид таких полиномов оределяется как: , где - степень полинома. Если в используемой полиномной модели регрессии определены степень полинома и параметры , функция амплитуды хаоса может быть представлена в виде полинома: . В этом случае выражение принимает вид: , а его дискретная форма, используемая для подстановки в уравнение процесса, также примет соответствующий вид: .

Приступим к дальнейшим преобразованиям, Представим выражение для инварианта в виде отношения: , где: и .

Согласно выдвинутому нами требованию, полная производная выражения по переменной тождественно равна нулю: , и, следовательно,

.

Это уравнение можно упростить, сократив знаменатель: . Перейдем теперь к преобразованиям выражений для производных и :

и .

В результате взятии производной получим:

.

Выделим в этом выражении общий множитель :

 

.

При взятии производной сначала выполним подстановку:

, затем выполним взятие производной:

; затем вынесем за скобки общий множитель:

.

Подставим в уравнение найденные выражения для и и получим:

.

В левую и правую части этого уравнения входит общий множитель . После сокращения множителя уравнение примет более простой вид:

. В полученное уравнение входят и . Сделав в нем подстановки выражений для и его производной и выполнив ряд несложных преобразований, мы получим уравнение, в левую часть которого входит :

.

Последнее путем несложных преобразований приводится к виду:

.

Теперь в это уравнение можно сделать подстановки для , и , выражения которых мы получили выше. Однако, чтобы привести это уравнение к окончательному виду, надо определить вид зависимости в выражении , которое входит в уравнение процесса. Займемся преобразованиями и ее производной . Вначале представим эту функцию принадлежности в комплексной форме: . В этой формуле состояния истинности для функциональных переменных нечеткой "правды" и нечеткой "неопределенности" относятся к моменту времени . Вид этой функциональной зависимости переменных во времени подлежит определению. Однако, на момент времени значения состояний истинности , когда итерационный процесс еще не начался, могут быть определены для любой из выполняемых логических операций. Формулы для этих операций были определены нами в рамках нечеткой трехзначной логики[27] В рамках же разрабатываемой фрактальной логики мы определили, что любая из выполняемых операций – это кортеж , выполняемый в три этапа. Результатом выполнения 1-го этапа является любая операция разработанной нами нечеткой трехзначной логики. Этот этап выполняется до начала фрактальной квантификации, т. е. когда момент времени и индекс . Для этого стартового момента формула принимает следующий вид: .

При выполнении 2-го этапа начинается итерируемый процесс. Уже при выполнении 1-го шага итераций две из трех компонент функции принадлежности нечеткой "правды" и нечеткой "лжи" дисконтируются множителем , содержащим прирост "неопределенности" , так что в результате выполнения 1-го шага получаем:

и . Выражение для выводится с учетом выполнения правила "исключенного четвертого": [28], которое должно выполняться на каждом шаге итерации. Так что имеем: и

Выражение после подстановки они преобразуются к виду:

, откуда получаем выражение для :

.

На 2-ом шаге итерации компоненты и также дисконтируются множителем , и соответствующие выражения принимают вид:

и .

Выражение для выводится также с учетом выполнения правила "исключенного четвертого": , и .

Выражение используем для подстановки:

, а из него получаем выражение для :

Из формул, полученных для первых двух шагов итераций, становится понятным вид рекурсивной зависимости для -го этапа итерации для компонент функции принадлежности. Они примут вид:

; . и , а выражение для ее комплексного представления функции принадлежности будет иметь вид:

.

Если же принять, что время непрерывно, то можно сделать замену переменных и преобразовать эту формулу к виду:

и продифференцировав по времени , получить:

Так как , после несложных преобразований получаем:

Теперь сделаем обратную подстановку переменных , считая, что время дискретно. Дискретная форма этого выражения примет вид:

 

Тот же "трюк" проделаем с функцией "кумулятивного влияния" аттракторов на процесс итераций: . Вид её производной зависит от набора аттракторов :

и

.

Правая часть этого выражения, зависящая от переменной , числа аттракторов и их координат на комплексной плоскости , при приведении к дискретной форме примет вид:

 

 

,

а левую часть этого уравнения обозначим ,

 

Общий виддискретной (разностной) формы уравнения итеративного процесса с учетом всех выполненных преобразований и подстановок таков:

 

,

 

 

где - константа, а формулы подстановок: , и имеют вид:

 

;

;

;

Варианты выражения для значений двух наборов параметров: и были приведены выше. Не представляет большого труда вывести эти формулы и для других наборов значений параметров.

 

 

Общее представление о характере обработки данных при выполнении дискретного итеративного процесса позволяют получить приведенные ниже графики и таблицы, отображающие результаты проведенных нами расчетов.

Для проверки математического инструментария нечеткой фрактальной логики и "работоспособности" программного комплекса в выполненных нами разработках были проведены вычисления на персональном компьютере. При их проведении использовалась выборка условных данных. Характер динамики в этой выборке отображен на графике, который приводится ниже на рис. 15.

 

Рис.15.

 

 

На рис.16 приводится графическое отображение той же самой выборки, но на комплексной плоскости . Вещественная компонента выборки на этом графике совпадает с выборкой, отображенной на графике рис. 15. Мнимая компонента - это волатильность .

 

Рис. 16.

 

При статистической обработке проводилась оценка ряда величин (минимальных, максимальных, средних значений, отклонений от средних, оценки координат аттракторов, парамеров, входящих в полином и в функции вероятности и др.).

На рис. 17 отображены экспериментальное распределение вероятностей для данной выборки и соответствующая ей функция плотности распределения . График этой функции имеет две вершины и два аттрактора. "Центры" аттракторов отмечены на графике "крестами".

Рис.17

 

На рис. 18 отображена зависимость функции хаоса от времени . Развитие динамики этой функции сопровождается "зарождением" колебательного процесса - волны Элиота.

.

Рис.18. Отображение динамики функции хаоса во времени

Для запуска итерируемого процесса необходимо было задать (в комплексной форме):

- начальные координаты предметной переменной и

- начальные значения функции принадлежности.

Они приведены в таблице ниже.

Таблица 1. Начальное состояние итерируемого процесса задается значениями и .

=	=
10.00000000000000 + 0.70000000000000i	0.70000000000000 + 0.20000000000000i

 

Итерируемый процесс был запущен и в ходе его выполнения были сформированы два предфрактальных "зоопарка". Результаты выполнения этого этапа приведены в таблице ниже.

Табл. 2. Результаты выполнения итеративного процесса при формировани 2-х фрактальных "зоопарков". Начало процесса.

z_zoo –"зоопарк" предметных значений	f_zoo – "зоопарк" значений функции
10.00000000000000 + 0.70000000000000i	0.70000000000000 + 0.20000000000000i
10.01143417685264 + 0.72154233546658i	0.69651741293532 + 0.20398009950249i
10.02286140796779 + 0.74308994253545i	0.69305215217445 + 0.20794039751491i
10.03428164589483 + 0.76464282793397i	0.68960413151687 + 0.21188099255215i
10.04569484330879 + 0.78620099912854i	0.68617326519091 + 0.21580198263896i
10.05710095303193 + 0.80776446432201i	0.68275946785165 + 0.21970346531239i
10.06849992805520 + 0.82933323245040i	0.67936265457876 + 0.22358553762427i
10.07989172155965 + 0.85090731317878i	0.67598274087439 + 0.22744829614356i
10.09127628693768 + 0.87248671689653i	0.67261964266108 + 0.23129183695876i
10.10265357781419 + 0.89407145471173i	0.66927327627969 + 0.23511625568036i

Продолжение табл. 2. Завершение итеративного процесса.

 

z_zoo – "зоопарк" предметных значений	f_zoo – "зоопарк" значений функции
10.99673177503714 + 2.66212481341917i	0.44684045146379 + 0.48932519832709i
11.00740375461452 + 2.68422513396695i	0.44461736464059 + 0.49186586898218i
11.01806649185095 + 2.70633278266662i	0.44240533795084 + 0.49439389948476i
11.02871998497684 + 2.72844777845436i	0.44020431636899 + 0.49690935272115i
11.03936423250271 + 2.75057013987499i	0.43801424514327 + 0.49941229126483i
11.04999923320831 + 2.77269988508046i	0.43583506979430 + 0.50190277737794i
11.06062498613186 + 2.79483703182850i	0.43366673611373 + 0.50438087301287i
11.07124149055940 + 2.81698159748172i	0.43150919016292 + 0.50684663981381i
11.08184874601428 + 2.83913359900688i	0.42936237827156 + 0.50930013911821i
11.09244675224685 + 2.86129305297454i	0.42722624703638 + 0.51174143195842i
11.10303550922422 + 2.88345997555887i	0.42510074331978 + 0.51417057906311i

 

Результаты расчетов "центров тяжести" этих предфракталов отражены в табл.3. Эти расчеты связаны с выполнением 3-го этапа обработки - с выполнением процедуры фрактальной дефазификации.

 

Табл. 3. Результат расчета "центров тяжести" в 2-х фрактальных "зоопарках":

-1) предметной переменной ; -2) и соответствующей ей функции принадлежности .

centr_z_fracta =	10.55785528982890 + 1.78751033466319i
centr_f_fracta =	0.55128565679252 + 0.36995924937997i

 

На рис. 19 и 20 отображается на графиках "зоопарк" предметных значений. На них выделены координаты на 41-м и на 433-м шагах итераций.

Рис.19.

 

Рис.20.

На рис. 21 отображается на графике "зоопарк" значений функции принадлежности

Рис.21.

 

На рис.22 приводится график "поверхности" функции плотности распределения вероятностей случайных величин , которые принадлежат фрактальному "зоопарку" и являются комплексными. Анализируя форму "поверхности" этого графика, приходим к выводу, что "зоопарк" сформирован компактно и имеет границу.

Рис.22.

 

Выполненные расчеты подтверждают корректность и функциональность моделей, которые мы разработали и использовали для вычислительных процедур с кванторами фрактальной фазификации и дефазификации.

Список литературы

1. Арнольд В.И. Теория катастроф. - М.: Изд-во МГУ, 1983.

2. В.И. Арнольд, В.С. Афраймович, Ю.С. Ильяшенко, Л.П. Шильников. Теория бифуркаций. – М.: Мир, 1984 г.

3. Берштейн Л.С., Боженюк А.В. Нечеткие модели принятия решений: дедукция, индукция, аналогия. Монография. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2001.

4. Большой энциклопедический словарь. Математика. Под редакцией Ю.В.Прохорова. – М.: Большая Росийская энциклопедия, 1998.

5. Д.Гильберт, П.Бернайс. Основания математики. /Перевод с немец. Н.М.Нагорного под редакцией С.И.Адяна, в 2-х томах. – М.:»Наука», 1979.

6. Р. Гилмор. Прикладная теория катастроф. Монография. Пер. с англ. Ю.Гупало и А.Пионтковского. – М.: Мир, 1984 г., в 2-х томах.

7. Климантович Ю.Л. Динамический и статический хаос. Критерий степени упорядоченности в процессах самоорганизации. // В сб.: Самоорганизация и наука: опыт философского осмысления. М.: «Арго». 1994.

8. Глова В.И., Аникин И.В., Аджели МЛ. Мягкие вычисления (Soft computing) и их приложения: Учебное пособие /Под ред. В.И. Глова. - Казань: Изд-во Казан.гос.техн.ун-та. 2000.

9. Гуц А.К. Комплексный анализ и информатика: Учебное пособие. Омск, Омский гос.университет, 2002. ISBN 5-8239-0101-1