Кванторы и квантификация. Специфика фрактальной квантификации

Впервые понятие " квантор" ввелв математическую логику Чарльз Пирс[7]. Первоначально это понятие было связано с логикой предикатов, что отразилось на его исходном определении. Слово " квантор" происходит от лат. quantum – "сколько", "количество"[8]. В рамках логики предикатов кванторы – это общее название логических операций, которые по предикату строят высказывание, дающее количественную характеристику области истинности предиката .

Наиболее употребительны квантор всеобщности ("для всех ") и квантор существования ("для некоторых "). Высказывание означает, что, область истинности предиката совпадает с областью значений переменной . Высказывание означает, что область истинности предиката не пуста.

Если интересуются поведением предиката не на всей этой области значений переменной , а лишь на ее части, выделяемой предикатом , то часто употребляют так называемые ограничительные кванторы и , при этом высказывание означает то же, что и , а высказывание - то же, что , где - знак конъюнкции, а - знак импликации.

В более общем смысле кванторы - это операторы математической логики, применяемые к логическим выражениям и дающие характеристику области предметов или области предикатов, к которой относится данное логическое выражение.

В рамках разрабатываемой трехзначной фрактальной логики мы вводим в рассмотрение два новых квантора:

· квантор фрактальной фазификации,

· квантор фрактальной дефазификации.

 

Введение квантора фрактальной фазификации в математический инструментарий этой логики связано с генерацией двух фракталов (фрактальных множеств) с нечеткими величинами:

· фрактала значений предметной переменной,

· фрактала значений функции принадлежности.

 

Реализацию квантора фрактальной фазификации мы свяжем с процедурой, выполняемой на основе разработанной нами модели рекурсивного итерируемого процесса, сущность и схема которого будут показаны ниже. А реализацию второго квантора – квантора фрактальной дефазификации – свяжем с процедурой определения центров тяжести для двух порожденных фрактальных множеств – фрактала значений предметной переменной и соответствующего ему фрактала значений истинности. В шутку, мы называем эти фракталы "зоопарками" – " зоопарком" значений предметных переменных и " зоопарком" значений функции принадлежности.

 

Формально любая из операций над двумя нечеткими множествами и из нечеткой трехзначной логики может быть преобразована в кортеж операций (упорядоченную 3-ку) нечеткой фрактальной логики. Этот кортеж состоит их цепочки операторов: “ ”, где:

- оператор логической операции нечеткой трехзначной логики

- оператор квантора фрактальной фазификации

- оператор квантора фрактальной фазификации

 

Более компактно, со скобками, устанавливающими порядок выполнения действий, этот кортеж можно записать так:

 

, где:

· - верхняя граница - максимальное число итераций в процессе генерации фракталов;

· - нижняя граница – исходное, начальное состояние (перед выполнением итерационного процесса);

· - индекс -ого шага итерации

· - индекс -го элемента нечетких множеств и

· -предметная переменная нечетких множеств и для -го элемента в -ого шаге итерации, представленная в комплексной форме: , где - вещественная компонента, интерпретируемая как предметная переменная, - мнимая компонента – волатильность , а - мнимая единица.

· [ , , ] – кортеж значений истинности функции принадлежности , получаемый после выполнения операции нечеткой трехзначной логики, но до начала выполнения итерационного процесса, т. е. когда .

В результате выполнения итерационного процесса формируются два фрактала значений:

· - " зоопарк" значений предметных переменных и

· - " зоопарк" значений функции принадлежности.

Операция фрактальной дефазификации для этих фрактальных "зоопарков", в ходе которой определяются "центры тяжести" этих фракталов, определяется по формулам:

и ,

где - число выполненных итераций при формировании фрактала. В пределе стремится к бесконечности. А когда - достаточно большое, но конечное целое число, мы получаем так называемый "незавершенный" фрактал – предфрактал. Его "центры тяжести" для предметной переменной и переменной "состояния истинности" определяются по аналогичным соответствующим формулам, но без учета предельного перехода:

и .

Раскроем вид оператора на примерах бинарных логических операций над нечеткими множествами и . Эти операции должны выполняться до начала итерационного процесса , когда .