Основы сферической и практической астрономии

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АСТРОНОМИИ

Мы представляем вашему вниманию «Сборник задач по астрономии». На нашем сайте вы найдете теоретическую часть, примеры, упражнения и ответы к ним, подразделенные на 4 основные категории, для удобства пользования сайтом. Данные разделы охватывают: основы сферической и практической астрономии, основы теоретической астрономии и небесной механики, основы астрофизики и характеристики телескопов.

Щелкнув курсором мыши в правой части нашего сайта на любом из подразделов в 4 категориях вы обнаружите в каждой из них теоретическую часть, которую мы советуем вам изучить до преступления к непосредственному решению задач, далее вы найдете пункт «Примеры», который мы добавили для лучшего понимания теоретической части, непосредственно сами упражнения для закрепления и расширения ваших знаний в данных областях и также пункт «Ответы» для проверки полученных знаний и коррекции ошибок.

Возможно, на первый взгляд, некоторые задачи покажутся устаревшими, так как географические названия стран, районов и городов, упомянутых на сайте, изменились со временем, законы астрономии же не претерпевали никаких изменений. Поэтому по нашему мнению, сборник содержит много полезной информации в теоретических частях, которые содержат неустаревающую информацию, доступную в виде таблиц, графиков, диаграмм и текста. Наш сайт предоставляет вам возможность начать изучение астрономии с азов и продолжить обучение с помощью решения задач. Сборник поможет вам заложить основы увлечения астрономией и может быть, в один день вы откроете новую звезду или полетите к ближайшей планете.

ОСНОВЫ СФЕРИЧЕСКОЙ И ПРАКТИЧЕСКОЙ АСТРОНОМИИ

Ответы - Кульминация светил. Вид звездного неба

Задача 27

По результатам предыдущей задачи обнаружить закономерность в вычисленных величинах и указать, в каких из трех городов бывают вблизи летнего солнцестояния белые, светлые и темные ночи.

Задача 28. Определить отношение количества тепла, получаемого от Солнца в полдень дней равноденствий и солнцестояний городами, указанными в задаче 26. Сравнение провести для каждого города в отдельности (по датам) и по городам в каждую дату.

Задача 29. Найти полуденную и полуночную высоту Солнца в дни равноденствий и солнцестояний на земном экваторе, на тропиках, на полярных кругах и географических полюсах.

Задача 30. Определить отношение количества тепла, получаемого в полдень дней равноденствий и солнцестояний местами земной поверхности, указанными в предыдущей задаче. Сравнение провести для каждого места (в различные даты) и по местностям (в каждую дату).

Задача 31. На каких географических параллелях Солнце не восходит, проходит в зените и не заходит в дни, когда его склонение равно +21°19' и —16°43'?

Задача 32. В какие дни года Солнце проходит в зените и надире экватора, тропиков и земных параллелей с географической широтой +7°48' и —18°35'? (Некоторые даты следует установить по астрономическому календарю-ежегоднику.)

Задача 33. На какой географической широте Солнце кульминирует в день летнего солнцестояния на зенитном расстоянии в 10°41' к северу от зенита? Чему равна полуденная и полуночная высота Солнца на той же широте в дни равноденствий и солнцестояний?

Задача 34. Решить предыдущую задачу при том же полуденном зенитном расстоянии Солнца, но к югу от зенита.

Задача 35. Найти планетографическую широту* тропиков и полярных кругов на планетах Марсе, Юпитере и Уране, если наклон оси Марса равен 24°48', оси Юпитера 3°07', а оси Урана 98° (наклон больший 90° означает обратное вращение планеты).

* Угловое расстояние от экватора планеты, аналогичное географической широте на Земле.

Задача 36. По результатам предыдущей задачи отметить особенности расположения тропиков и полярных кругов в сравнении с земными и определить пределы изменения склонения Солнца в небе этих планет.

Задача 37. Вычислить отношение количества тепла, получаемого от Солнца в полдень дней равноденствий и летнего солнцестояния экватором, северным тропиком и северным полярным кругом Урана и выяснить условия освещения различных зон этой планеты на протяжении периода ее обращения вокруг Солнца, близкого к 84 годам. Наклон оси планеты равен 98°.

Задача 38. При каком склонении Солнца наступают белые ночи в Ленинграде (ср = +59°57') и Архангельске (φ= +64°34')? Возможны ли в этих городах полярные дни и полярные ночи?

Задача 39. По результатам предыдущей задачи и астрономическому календарю-ежегоднику определить длительность периода белых ночей в тех же городах.

Задача 40. Воспользовавшись астрономическим календарем-ежегодником, найти длительность периода белых ночей и продолжительность полярного дня и полярной ночи в Мурманске (φ = +68°59') и Хатанге (φ = +71°58') и определить наибольшую полуденную и полуночную высоту Солнца в этих городах.

Задача 41. До каких географических параллелей распространяются границы полярного дня, полярной ночи, белых и темных ночей в дни равноденствий и солнцестояний?

Задача 42. На каких географических параллелях начинаются и оканчиваются периоды белых ночей, полярный день и полярная ночь при склонениях Солнца δ = +10° и δ = = +21°? Примерно в какие дни года это происходит?

Ответы - Видимое годовое движение Солнца

Системы счета времени

Звездное время S измеряется часовым углом tγ точки весеннего равноденствия и поэтому всегда S = tγ У небесного светила с прямым восхождением α часовой угол

t = S—α. (13)

Звездное время S в пункте с географической долготой λ связано со звездным гринвичским временем S0 равенством

S = S0+λ, (14)

причем λ отсчитывается к востоку от Гринвича и выражается в часах, минутах и секундах времени. Для перевода градусных единиц в единицы времени существуют таблицы.

В один и тот же физический момент звездное время S1 и S2 в двух пунктах различается на разность географической долготы λ1 и λ2 этих пунктов, т. е.

S2—S1=λ2—λ1. (15)

Используемые в практической жизни средние солнечные сутки продолжительнее звездных суток на 3м56с,6 ~ Зм56с.

Местное среднее время

Tλ =T +η, (16)

где η — уравнение времени, a T —истинное солнечное время, измеряемое часовым углом Солнца, увеличенным на 12ч, т. е.

Τ =t +12ч. (17)

Местное среднее время Tλ1 и Tλ2 двух пунктов связано между собой равенством:

Tλ1 - Tλ2 = λ2—λ1, (18)

а со средним гринвичским временем T0 (называемым всемирным временем)—равенством

Тλ = T0+λ. (19)

В практической жизни используется либо поясное время

Tn = T0+n, (20)

либо декретное время

Tд = Tn + 1ч=T0+n+1ч, (21)

где n — номер часового пояса, равный целому числу часов.

Для двух пунктов, расположенных в разных часовых поясах n1 и n2,

Tд2 —Tд1 = Τn2 -Тn1 =n2-n1 (22)

Если система счета времени не указана, то всегда подразумевается время, действующее на данной территории.

Показание часов Тч (или Sч) не всегда соответствует моменту точного времени Τ или S. Разность

u = Т—Тч или us=S — Sч (23)

называется поправкой часов, зная которую можно определять точное время по неверно идущим часам.

Пример 1. Определить звездное время в пунктах с географической долготой 2ч23м37с и 7ч46м20с в момент, когда в пункте с географической долготой 80°05',5 у звезды Веги (α Лиры) часовой угол равен 4ч29м48с. Прямое восхождение Веги α=18ч35м15с.

Данные: λ1 = 2ч23м37c; λ2=7ч46м20с; λ3 = 80°05',5;

Вега, α=18ч35м15с, t = 4ч29м48c.

Решение. Пользуясь таблицей 2, выражаем географическую долготу третьего пункта в единицах времени: λ3=80°05',5 = 5ч20м22с.

Согласно формуле (13), звездное время в третьем пункте (с λ3)

S3=α+t = 18ч35м15c+4ч29м48c=23ч05м03c.

Из формулы (15) следует, что в первом пункте (с λ1) звездное время

S1=S3+(λ1-λ3) - 23ч05м03с + (2ч23м37с—5ч20м22с) = 20ч08м18с;

во втором пункте (с λ2) звездное время

S2 = S3+ (λ2—λ3) =23ч05м03с+ (7ч46м20с—5ч20м22с) = 25ч31м01с,

т. е. в этом пункте начались уже новые звездные сутки (но не календарные сутки), и там S2=1ч31м01c.

При другом ходе решения используется формула (14).

Пример 2. Некоторый пункт с географической долготой 5ч34м находится в пятом часовом поясе. Найти местное среднее, поясное и декретное время этого пункта в истинный полдень 27 октября, если в этот день уравнение времени равно —16м.

Данные: λ=5ч34м, n=5; 27 октября η = —16м.

Решение. В истинный полдень истинное солнечное время T =12ч00м. Согласно формулам (16), (19), (20) и (21), 27 октября местное среднее время

Τλ =T +η=12ч00м—16м=11ч44м, поясное время

Tn = Tλ + (n—λ) = 11ч44м—34м=11ч10м и декретное время

Tд=Tn+1ч=12ч10м

Задача 43. Определить звездное время в моменты верхней и нижней кульминации звезды Фомальгаута (α Южной Рыбы), прямое восхождение которой 22ч54м53с.

Задача 44. Найти звездное время в моменты, в которые часовой угол звезды Ригеля (β Ориона) соответственно равен —3ч17м43с и 1ч42м29с. Прямое восхождение этой звезды 5ч12м08с

Задача 45. Определить звездное время в пунктах с географической долготой 2ч13м23с и 84°58' в момент, когда в пункте с долготой 4ч37м11с звезда Кастор (α Близнецов) находится в верхней кульминации. Прямое восхождение Кастора 7ч31м25с.

Задача 46. Решить предыдущую задачу для тех же пунктов, но для момента времени, в который звезда Капелла (а Возничего) находится в нижней кульминации в Иркутске (λ=6ч57м05с). Прямое восхождение Капеллы 5ч13м00с.

Задача 47. Вычислить часовые углы звезд Алголя (β Персея) и Альтаира (а Орла) в 8ч20м30с по звездному времени. Прямое восхождение этих звезд соответственно равно 3ч04м54с и 19ч48м21с. Часовые углы выразить в градусных единицах.

Задача 48. Прямое восхождение звезды Миры (о Кита) 2ч16м49с, Сириуса (а Большого Пса) 6ч42м57с и Проциона (а Малого Пса) 7ч36м41с. Чему равны часовые углы этих звезд в моменты верхней и нижней кульминации Сириуса?

Задача 49. Найти часовые углы звезд Кастора (а Близнецов) и Шеата (β Пегаса) в момент, когда часовой угол звезды Беги (а Лиры) равен 4ч15м10с. Прямое восхождение Кастора 7ч31м25с, Беги 18ч35м15с и Шеата 23ч01м21с.

Задача 50. Часовой угол звезды Миры (о Кита) в Гринвиче равен 2ч16м47с. Определить в этот момент звездное время в пунктах с географической долготой 2ч03м02с и 54°44',5. Прямое восхождение Миры 2ч16м49с.

Задача 51. Найти звездное время и часовой угол звезды Мицара (ζ Большой Медведицы) в Гринвиче и в пункте с географической долготой 6ч34м09с в тот момент, когда в Якутске (λ=8ч38м58с) часовой угол звезды Альдебарана (а Тельца) 329°44'. Прямое восхождение Мицара 13ч21м55с, а Альдебарана 4ч33м03с.

Задача 52. Какое прямое восхождение у звезд, находящихся в верхней и нижней кульминации в двух различных пунктах наблюдения, если в одном из них, расположенном восточнее другого на 36°42', часовой угол звезды Проциона (а Малого Пса) равен —2ч16м41с? Прямое восхождение Проциона 7ч36м41с.

Задача 53. На каких географических меридианах звездное время соответственно равно 22ч48м30с и 7ч36м34с, если в местности с географической долготой 5ч31м40с звезда
Капелла (α Возничего) имеет часовой угол — 2ч39м08с? Прямое восхождение Капеллы 5ч13м0с.

Задача 54. Через какие интервалы звездного времени после верхней кульминации звезды β Льва с прямым восхождением 11ч46м31с звезда α Гидры будет находиться в верхней кульминации, в нижней кульминации и занимать положение при часовом угле 4ч25м16с? Прямое восхождение α Гидры 9ч25м08с.

Задача 55. В момент верхней кульминации звезды Геммы (а Северной Короны), прямое восхождение которой 15ч32м34с, часы, идущие по звездному времени (звездные часы), показывали 15ч29м42с. Найти поправку часов и их показание при часовом угле той же звезды, равном 1ч20м50с.

Задача 56. В момент верхней кульминации звезды Альдебарана (а Тельца) с прямым восхождением 4ч33м03с звездные часы показывали 4ч52м16с, а в такой же момент следующей ночи их показание было 4ч51м04с. Вычислить поправки звездных часов в моменты наблюдений, а также их суточный и часовой ход (т. е. изменение поправки за сутки и за один час).

Задача 57. В момент верхней кульминации звезды ε Большой Медведицы с прямым восхождением 12ч51м50с звездные часы показывай 12ч41м28с, а в момент последующей нижней кульминации той же звезды их показание было 0ч41м04с. При каких показаниях тех же часов звезда β Малой Медведицы проходила обе кульминации, если, ее прямое восхождение равно 14ч50м50с?

Задача 58. Найти среднее, поясное и декретное время в пунктах с географической долготой 4ч43м28с и 9ч18м37с в момент 6ч52м06с по среднему гринвичскому времени. Первый пункт находится в пятом, а второй — в десятом часовом поясе.

Задача 59. Определить среднее, поясное и декретное время в пунктах с географической долготой 5ч12м56с и 7ч51м22c если в этот момент в третьем пункте часы показывали 17ч31м44с по среднему времени, а географическая долгота третьего пункта равна 6ч27м36с. Первый пункт находится в пятом, а второй — в восьмом часовом поясе.

Задача 60. Найти разность между поясным и средним, а также между декретным и средним временем в пункте с географической долготой 7ч18м58с, расположенном в седьмом часовом поясе.

Задача 61. Определить последовательность наступления одноименных моментов по среднему, поясному и декретному времени в Баку (λ=3ч19м, n=3) и Новосибирске (λ=5ч32м, n=6).

Задача 62. В какие моменты времени по различным системам счета наступают истинный полдень и истинная полночь в Ростове-на-Дону (λ=2ч39м, n=3) и Оренбурге (λ=3ч41м, n=4) в дни, когда уравнение времени соответственно равно +12м и —15м?

Задача 63. Точные городские часы Красноярска (n = 6) показывают 7ч32м вечера. Какое в этот момент среднее, поясное и декретное время в Киеве (λ=2ч02м, n=2) и Хабаровске (λ=9ч00м, n=9)?

Задача 64. После месячного полета на научной космической станции «Салют-4» космонавты А. А. Губарев и Г. М. Гречко 9 февраля 1975 г. в 14ч03м по московскому времени приземлились северо-восточнее Целинограда. Сколько времени было в этот момент в Целинограде (n = 5) и Казани (n=3)? Москва находится во втором часовом поясе.

Задача 65. Лунное затмение 18 ноября 1975 г. началось в 20ч38м,5 и окончилось 19 ноября 1975 г, в 0ч08м,2 по всемирному времени. В какие даты и моменты времени оно началось и окончилось в Краснодаре (n=3), Ташкенте (n = 5) и Иркутске (n = 7)?

Задача 66. В 1974 г. летнее солнцестояние наступило 21 июня в 18ч38м по всемирному времени. Когда оно наступило по времени городов, указанных в предыдущей задаче?

Задача 67. В момент передачи из Москвы (n = 2) 12-часового радиосигнала точного времени часы в одном из учреждений Томска (λ=5ч40м, n = 6) показывали 16ч12м. Вычислить поправку этих часов к местному среднему и принятому времени Томска и Красноводска (λ=3ч32м, n=4) и найти показания тех же часов в 19ч0м по времени каждого города.

Задача 68. Самолет вылетел из Свердловска (n = 4) в 11ч20м и прибыл без опоздания в Иркутск (n = 7) в 17ч45м. Сколько времени летел самолет и какие моменты вылета и прибытия указаны в расписании Аэрофлота?

Задача 69. Телеграмма отправлена из Нерчинска (n = 8) в 7ч40м вечера по городским часам и доставлена адресату в Смоленске (n=2) в тот же день в 16ч20м по времени этого города. Сколько времени шла телеграмма и какие моменты времени отправки и доставки отмечены на ней?

Ответы - Системы счета времени

 

Ответы - Практическое определение географических и небесных экваториальных координат

 

Преобразование небесных координат и систем счета времени. Восход и заход светил

Связь между горизонтальными и экваториальными небесными координатами осуществляется через параллактический треугольник PZM (рис. 3), вершинами которого служат полюс мира Р, зенит Ζ и светило M, а сторонами — дуга ΡΖ небесного меридиана, дуга ΖΜ круга высоты светила и дуга РМ его круга склонения. Оче видно, что ΡΖ=90°—φ, ZM = z = 90°—h и PM=90°—δ, где φ — географическая широта места наблюдения, z — зенитное расстояние, h — высота и δ — склонение светила.

В параллактическом треугольнике угол при зените равен 180°—A, где A — азимут светила, а угол при полюсе мира — часовому углу t того же светила. Тогда горизонтальные координаты вычисляются по формулам

cos z = sin φ · sin δ + cos φ · cos δ · cos t, (28)

sin z · cos A = - sin δ · cos φ+cos δ · sin φ · cos t, (29)

sin z · sin A = cos δ · sin t, (30)

а экваториальные координаты — по формулам

sin δ = cos z · sin φ — sin z · cos φ · cos A, (31)

cos δ · cos t = cos z · cos φ+sin z · sin φ · cos A, (32)

cos δ · sin t=sin z · sin A, (30)

причем t = S — α, где α — прямое восхождение светила и S — звездное время.

 

Рис. 3. Параллактический треугольник

 

При расчетах необходимо по таблице 3 переводить интервалы звездного времени ΔS в интервалы среднего времени ΔT (или наоборот), а звездное время s0 — в среднюю гринвичскую полночь заданной даты заимствовать из астрономических календарей-ежегодников (в задачах этого раздела значения s0 приводятся).

Пусть некоторое явление в каком-то пункте земной поверхности произошло в момент Τ по принятому там времени. В зависимости от принятой системы счета времени по формулам (19), (20) или (21) находится среднее гринвичское время T0, представляющее собой интервал среднего времени ΔT, протекший с гринвичской полночи (ΔT=T0). Этот интервал по таблице 3 переводится в интервал звездного времени ΔS (т. е. ΔT→ΔS), и тогда в заданный момент T соответствующий среднему гринвичскому времени T0, звездное время в Гринвиче

S0=s0+ΔS, (33)

а в данном пункте

S = S0+λ, (14)

где λ — географическая долгота места,

Перевод интервалов звездного времени ΔS в интервалы среднего времени ΔΤ = Τ0 (т. е. ΔS→ΔT) осуществляется по таблице 3 вычитанием поправки.

Моменты времени и азимуты точек восхода и захода светил вычисляются по формулам (28), (29), (30) и (13), в которых принимается z=90°35' (с учетом рефракции ρ = 35').

Найденные значения часового угла и азимута в пределах от 180 до 360° соответствуют восходу светила, а в пределах от 0 до 180° — его заходу.

При вычислениях восхода и захода Солнца учитывается еще его угловой радиус r=16'. Найденные часовые углы t дают моменты по истинному солнечному времени (см. формулу (17), которые но формуле (16) переводятся в моменты среднего времени, а затем — в принятую систему счета.

Моменты восхода и захода всех светил вычисляются с точностью, не превышающей 1м.

Преобразование небесных координат и систем счета времени – Пример 1

В каком направлении был заранее установлен телескоп с фотокамерой для фотографирования солнечного затмения 29 апреля 1976 г., если в пункте с географическими координатами λ=2ч58м,0 и φ = +40°14' середина затмения наступила в 15ч29м,8 по времени, отличающемуся от московского на +1ч? В этот момент экваториальные координаты Солнца: прямое восхождение α=2ч27м,5 и склонение δ= + 14°35'. В среднюю гринвичскую полночь 29 апреля 1976 г. звездное время s0=14ч28м19c.

Данные: пункт наблюдения, λ = 2ч58м,0, φ = +40°14', T=15ч29м,8, Τ—Tм=1ч; s0 = 14ч28м19c = 14ч28м,3; Солнце, α=2ч27м,5, δ = +14°35'.

Решение. В середине затмения московское время Тм = Т—1ч=14ч29м,8, и поэтому среднее гринвичское время T0 = Tм—3ч = 11ч29м,8. С гринвичской полночи прошел интервал времени ΔТ = Т0 = 11ч29м,8, который переводим по таблице 3 в интервал звездного времени ΔS=11ч31м,7, и тогда в момент T0, по формуле (33), звездное время в Гринвиче

S0=s0+ΔS = 14ч28м,3 + 11ч31м,7 = 25ч60м = = 2ч0м,0

а в заданном пункте, по формуле (14), звездное время S = S0+λ=2ч0м,0 + 2ч58м,0 = 4ч58м,0

и, по формуле (13), часовой угол Солнца

t = S—α = 4ч58м, 0—2ч27м, 5 = 2ч30м, 5,

или, переводя по таблице 1, t = 37°37',5 ~ 37°38'. По таблицам тригонометрических функций находим:

sin φ = sin 40°14' = +0,6459,

cos φ = cos 40°14' = +0,7634;

sin δ = sin 14°35' = +0,2518,

cos δ = cos 14°35' = +0,9678;

sin t = sin 37°38' = +0,6106,

cos t = cos 37°38' = +0,7919.

По формуле (28) вычисляем

cos z = 0,6459 · 0,2518 + 0,7634 · 0,9678 · 0,7919 = = +0,7477

и по таблицам находим z = 41°36' и sin z = +0,6640. Для вычисления азимута используем формулу (30):

откуда получаем два значения: A = 62°52' и A = 180° — 62°52' = 117°08'. При δ<φ значения A и t не слишком резко отличаются друг от друга и поэтому A=62°52'.

Следовательно, телескоп был направлен в точку неба с горизонтальными координатами A=62°52' и z = 41°36' (или h = + 48°24').

Преобразование небесных координат и систем счета времени - Пример 2

Вычислить азимуты точек и моменты восхода и захода Солнца, а также продолжительность дня и ночи 21 июня 1975 г. в местности с географическими координатами λ=4ч28м,4 и φ = +59°30', находящейся в пятом часовом поясе, если в полдень этого дня склонение Солнца δ = +23°27', а уравнение времени η = + 1м35с.

Данные: Солнце, δ = +23°27'; η = +1м35с = +1м,6; место, λ=4ч28м,4, φ = 59°30', n = 5.

Решение. Учитывая среднюю рефракцию в горизонте ρ = 35' и угловой радиус солнечного диска r =16', находим, что в момент восхода и захода Солнца центр солнечного диска находится под горизонтом, на зенитном расстоянии

z = 90° + ρ + r = 90°51',

Тогда

sin z = +0,9999, cos z = -0,0148, sin δ = + 0,3979,

cos δ = +0,9174, sin φ = +0,8616, cos φ = +0,5075.

По формуле (28) находим:

и по таблицам

t = ± (180°—39°49',3) = ±140°10',7 и

sin t = ±0,6404.

По таблице 2 получим, что при восходе Солнца его часовой угол t1 = -140°10',7 = -9ч20м,7, а при заходе t2 = +140°10',7 = +9ч20м,7, т. е. по истинному солнечному времени, согласно формуле (17), Солнце восходит в

T 1 = 12ч + t1 = 12ч—9ч20м,7 = 2ч39м,3

и заходит в

T 2 =12ч + t2 = 12ч+9ч20м,7 = 21ч20м,7,

что, по формуле (16), соответствует моментам по сред нему времени

Tλ1 = T 1 + η = 2ч39м,3 + 1м,6=2ч41м и

Τλ2 = T 2 + η = 21ч20м,7+1м,6 = 21ч22м.

По формулам (19), (20) и (21) те же моменты по поясному времени: восход

Tn1 = Tλ1— λ+n = 2ч41м — 4ч28м + 5ч = 3ч13м

и заход Tn2 = Tλ2 — λ+n = 21ч22м — 4ч28м + 5ч = 21ч54м,

а по декретному времени:

восход Tд1=4ч13м и заход Tд2 = 22ч54м.

Продолжительность дня τ = Тд2—Тд1 = 22ч54м—4ч13м = 18ч41м.

В момент нижней кульминации высота Солнца

hн = δ— (90°—φ) = +23°27' - (90°—59°30') = -7°03', т. е. вместо обычной длится белая ночь.

Азимуты точек восхода и захода Солнца вычисляются по формуле (30):

что дает A = ±(180°—36°,0) = ±144°,0, так как азимуты и часовые углы Солнца находятся в одном квадранте. Следовательно, Солнце восходит в точке истинного горизонта с азимутом A1 = -144°,0 = 216°,0 и заходит в точке с азимутом A2 = +144°,0, расположенных в 36° по обе стороны от точки севера.

Задача 90. Через какие интервалы среднего времени чередуются одноименные и разноименные кульминации звезд?

Задача 91. Через сколько времени после верхней кульминации Денеба наступит верхняя кульминация звезды γ Ориона, а затем — снова верхняя кульминация Денеба? Прямое восхождение Денеба 20ч39м44с, а γ Ориона 5ч22м27с. Искомые интервалы выразить в системах звездного и среднего времени.

Задача 92. В 14ч15м10с по среднему времени звезда Сириус (α Большого Пса) с прямым восхождением 6ч42м57с находилась в нижней кульминации. В какие ближайшие моменты времени после этого звезда Гемма (α Северной Короны) будет находиться в верхней кульминации и когда ее часовой угол будет равен 3ч16м0с? Прямое восхождение Геммы 15ч32м34с.

Задача 93. В 4ч25м0с часовой угол звезды с прямым восхождением 2ч12м30с был равен —34°26',0. Найти прямое восхождение звезд, которые в 21ч50м0с будут находиться в верхней кульминации и в нижней кульминации, а также тех звезд, часовые углы которых станут равными — 1ч13м20с и 5ч42м50с.

Задача 94. Чему равно приближенное значение звездного времени в среднюю, поясную и декретную полночь Ижевска (λ = 3ч33м, n = 3) 8 февраля и 1 сентября?

Задача 95. Примерно в какие дни года звезды Сириус (α = 6ч43м) и Антарес (α = 16ч26м) находятся в верхней и нижней кульминации в среднюю полночь?

Задача 96. Определить звездное время в Гринвиче в 7ч28м16с 9 января (s0 = 7ч11м39c)* и в 20ч53м47с 25 июля (s0 = 20ч08м20с).

* Здесь и далее в скобках после дат указано звездное время в среднюю гринвичскую полночь.

Задача 97. Найти звездное время в средний, поясной и декретный полдень, а также в среднюю, поясную и декретную полночь в Москве (λ = 2ч30м17с, n=2) 15 января (s0=7ч35м18c).*

* Здесь и далее в скобках после дат указано звездное время в среднюю гринвичскую полночь.

Задача 98. Решить предыдущую задачу для Красноярска (λ = 6ч11м26с, n = 6) и Охотска (λ = 9ч33м10с, n=10) в день 8 августа (s0=21ч03м32c).

Задача 99. Вычислить часовые углы звезды Деиеба (α Лебедя) (α = 20ч39м44с) в Гринвиче в 19ч42м10с 16 июня (S0=17ч34м34с) и 16 декабря (S0=5ч36м04c).

Задача 100. Вычислить часовые углы звезд α Андромеды (α = 0ч05м48с) и β Льва (α= 11ч46м31с) в 20ч32м50с 3 августа (s0=20ч43M40c) и 5 декабря (s0=4ч52M42c) во Владивостоке (λ=8ч47м31с, n = 9).

Задача 101. Найти часовые углы звезд Бетельгейзе (α = 5ч52м28с) и Спики (α =13ч22м33с) в 1ч52м36с 25 июня (s0=18ч06м07c) и 7 ноября (s0=2ч58м22c) в Ташкенте (λ=4ч37м11с, n=5).

Задача 102. В какие моменты времени в Гринвиче находятся в верхней кульминации звезда Поллукс (α = 7ч42м16с), а в нижней кульминации звезда Арктур (α =14ч13м23с) 10 февраля (s0=9ч17м48c) и 9 мая (s0=15ч04м45c)?

Задача 103. Найти моменты верхней и нижней кульминации 22 марта (s0 = 11ч55м31c) и 22 июня (s0 = 17ч58м14c) звезд Капеллы (α = 5ч13м00с) и Беги (α = 18ч35м15с) на географическом меридиане λ = 3ч10м0с (n = 3). Моменты указать по звездному, среднему, поясному и декретному времени.

Задача 104. В какие моменты времени 5 февраля (s0 = 8ч58м06с) и 15 августа (s0 = 21ч31м08c) часовые углы звезд Сириуса (α = 6ч42м57с) и Альтаира (α = 19ч48м21с) в Самарканде (λ = 4ч27м53с, n = 4) равны 3ч28м47с?

Задача 105. В какие моменты времени 10 декабря (s0 =5ч12м24с) часовые углы звезд Альдебарана (α = 4ч33м03с) и β Лебедя (α = 19ч28м42с) в Тбилиси (λ = 2ч59м11с, n = 3) и в Охотске (λ = 9ч33м10с, n=10) соответственно равны +67°48' и —24°32'?

Задача 106. На каких географических меридианах звезды α Близнецов и γ Большой Медведицы находятся в верхней кульминации 20 сентября (s0=23ч53м04c) в 8ч40м26с по времени Иркутска (n=7)? Прямое восхождение этих звезд соответственно равно 7ч31м25с и 11ч51м13с.

Задача 107. Определить горизонтальные координаты звезд ε Большой Медведицы (а = 12ч51м50с, δ = +56°14') и Антареса (α = 16ч26м20с, δ = -26°19') в 14ч10м0с по звездному времени в Евпатории (φ = +45°12').

Задача 108. Чему равны горизонтальные координаты звезд Геммы (α = 15ч32м34с, δ = +26°53') и Спики (α = 13ч22м33с, δ = —10°54') 15 апреля (s0 = 13ч30м08c) и 20 августа (s0 = 21ч50м50c) в 21ч30м по декретному времени в пункте с географическими координатами λ = 6ч50м0с (n = 7) и φ = +71°58'?

Задача 109. В какие точки неба, определяемые горизонтальными координатами, необходимо направить телескоп, установленный в пункте с географическими координатами λ = 2ч59м,2 (n = 3) и φ = +41°42', чтобы 4 мая 1975 г. (s0=14ч45м02с) в 22ч40м по поясному времени увидеть

Уран (α = 13ч52м,1, δ = —10°55') и Нептун (α = 16ч39м,3, δ = -20с32')?

Задача 110. В какие моменты времени восходит, кульминирует и заходит и сколько времени находится над горизонтом точка летнего солнцестояния 22 марта (s0 = 11ч55м31с) и 22 июня (s0=17ч58м14c) на центральном меридиане второго часового пояса в местах с географической широтой φ = +37°45' и φ = +68°20'? Моменты выразить по звездному и декретному времени.

Задача 111. Вычислить азимуты и моменты восхода, верхней кульминации, захода и нижней кульминации звезд Кастора (α = 7ч31м25с, δ = +32°00') и Антареса (α = 16ч26м20с, δ = —26°19') 15 апреля (s0=13ч30м08c) и 15 октября (s0=1ч31м37c) в местах земной поверхности с географическими координатами λ =3ч53м33с (n = 4), φ = +37°45' и λ = 2ч12м15с (n = 2), φ = +68°59'.

Задача 112. Вычислить азимуты и моменты восхода, верхней кульминации и захода Солнца, его полуденную и полуночную высоту, а также продолжительность дня в даты весеннего равноденствия и обоих солнцестояний в пунктах с географическими координатами λ = 2ч36м,3 (n=2), φ = +59°57', и λ = 5ч53м,9 (n = 6), φ = +69°18'. В последовательные даты уравнение времени соответственно равно +7м23с, +1м35с и —2м08с.

Задача 113. В какие моменты времени 30 июля (s0 = 20ч28м03с) в пункте с λ = 2ч58м0с (n=3) и φ = +40°14' нижеперечисленные звезды имеют горизонтальные координаты A и z:

Звезда	α	δ	А	z
Сириус (α Большого Пса) Регул (α Льва) Капелла (α Возничего)	6ч42м57с 10ч05м43с 5ч13м0с	—16°39' + 12°13 + 45°58	— 40°10' + 65°05 + 152°55	67°08' 46°28 86°25

Задача 114. В пункте с географическими координатами λ= 4ч37м11c (n = 5) и φ = + 41°18' 5 августа 1975 г. (s0= 20ч51м42с) были измерены горизонтальные координаты двух звезд: в 21ч10м у первой звезды A = —8°33' и z =49°51', а в 22ч50м у второй звезды A = 46°07' и z = 38°24'. Вычислить экваториальные координаты этих звезд.

Ответы - Преобразование небесных координат и систем счета времени

 

Ответы - Расстояния, размеры и вращение тел Солнечной системы

Ответы - Закон всемирного тяготения и задача двух тел

 

Искусственные небесные тела

При запуске искусственных небесных тел им сообщается начальная скорость (скорость запуска) vн зависящая от рассчитанной орбиты. Начальная скорость сообщается космическим двигателем на некоторой высоте h_н над поверхностью центрального тела (вокруг которого запускается спутник), г. е. от его центра на расстоянии

r=R+h_н, (74)

где R — средний радиус этого тела. В частности, при запуске вокруг Земли R = 6371 км ~ 6370 км, что следует иметь в виду при решении задач этого раздела.

Форма и размеры эллиптической орбиты искусственного спутника определяются целями запуска (рис. 8).

 

Рис. 8. Эллиптическая орбита искусственного спутника

Центр центрального тела является одним из фокусов орбиты, а ее большая полуось

причем перицентрическое расстояние

q = R+h_q (76)

и апоцентрическое расстояние

Q = R+h_Q, (77)

где h_q — наименьшая высота (высота перицентра) и h_Q — наибольшая высота (высота апоцентра) искусственного спутника над поверхностью тела. Для искусственных спутников и орбитальных кораблей Земли h_q — высота перигея, h_Q — высота апогея, q — перигейное расстояние и Q — апогейное расстояние.

Эксцентриситет орбиты определяется формулой (35).

Скорость искусственных небесных тел обычно выражается в км/с и вычисляется по формулам (40), (64) — (66) и (68) — (70).

Периоды обращения искусственных спутников принято измерять в минутах, а их расстояния—в километрах, и поэтому третий закон Кеплера имеет вид

(78)

или

(79)

и

(80)

где M — масса центрального тела, выраженная в массах Земли.

По параметрам обращения искусственного спутника можно вычислить массу центрального тела.

Продолжительность полета искусственных спутников над полушарием центрального тела, расположенным под перицентром орбиты (перицентрийное полушарие),

(81)

где Τ — период обращения спутника и е — эксцентриситет его орбиты.

Над противоположным (апоцентрийным) полушарием спутник пролетает за интервал времени

τ=T—t. (82)

Формулы (75) — (82) вполне применимы и к движению естественных спутников планет.

В полете с одной планеты к другой межпланетная станция (межпланетный корабль) становится спутником Солнца и движется в его поле тяготения по законам движения планет. Простейшей траекторией полета является полуэллиптическая, вершины (апсиды) которой касаются орбит планеты запуска (с нее производится запуск) и планеты сближения (к ней направляется станция). Пренебрегая в первом приближении наклонением и эллиптичностью планетных орбит, можно проводить расчеты по значениям их больших полуосей a1 (планеты запуска) и a2 (планеты сближения), заданных в астрономических единицах (а. е.).

При полете к верхней планете (рис. 9) запуск станции осуществляется на ее перигельном расстоянии

q=a₁ (83)

в прямом направлении; афелийное же расстояние станции

Q=a₂. (84)

Рис. 9. Простейшая орбита межпланетного корабля

При направлении станции к нижней планете q = a₂ и

Большая полуось а гелиоцентрической орбиты межпланетной станции вычисляется по формуле (37), эксцентриситет орбиты — по формуле (35), а продолжительность полета, выраженная в годах,

(85)

где а — в астрономических единицах. При необходимости Δt переводится в сутки.

Гелиоцентрическая скорость полета станции дается формулами (41), (64), (65) и (66). При запуске к верхней планете начальная гелиоцентрическая скорость V_н = V_q а при запуске к нижней планете V_н = V_Q причем в эту скорость V_н входит орбитальная (в рассматриваемом здесь простейшем случае—круговая) скорость V₁ планеты запуска. Следовательно, чтобы межпланетная станция вышла на расчетную гелиоцентрическую орбиту, необходимо сообщить ей дополнительную скорость

V_д = V_н - V₁ (86)

Но, чтобы покинуть планету запуска, станция должна еще преодолеть ее притяжение, на что требуется кинетическая энергия ,

где т — масса станции и w_п — вторая космическая (критическая) скорость на поверхности этой планеты. Поэтому скорость запуска vн станции с планеты, называемая также начальной планетоцентрической скоростью, найдется из равенства

откуда

(87)

День запуска t₁ межпланетной станции не может быть произвольным и выбирается по подходящей конфигурации Δλ₂ планеты сближения Ρ (см. рис. 9), иначе станция придет в намеченный район встречи либо раньше, либо позже планеты. У планеты сближения с сидерическим периодом обращения Т₂ среднее суточное движение.

и за найденную по формуле (85) продолжительность полета станции Δt (выраженную в сутках) планета должна прийти в район встречи A, пройдя по своей орбите путь

Следовательно, в день t₁ старта межпланетной станции разность гелиоцентрической долг