Расстояния, размеры и вращение тел Солнечной системы

Расстояния r от Земли до тел Солнечной системы вычисляются по их горизонтальным экваториальным параллаксам p₀ и экваториальному радиусу Земли R₀:

r = R₀/sin p₀, (50)

или

r = (3438'/p₀')R₀ (51)

если параллакс выражен в минутах дуги (р₀') и

r = (206265"/p₀") R₀ (52)

при параллаксе, выраженном в секундах дуги (р₀")·

Если положить R₀=1, то r получается в экваториальных радиусах Земли. При вычислении r в километрах следует принять R₀=6378 км.

Если угловые размеры небесного тела ρ>=3°, то его линейные размеры

R = r sin ρ, (53)

а при ρ<3°, вследствие пропорциональности sin ρ и ρ,

R=r (ρ'/3438') (ρ — в минутах дуги) (54)

R = r (ρ"/206265") (ρ — в секундах дуги) (55)

и

R = R_о(ρ/p₀) (56)

где ρ и р₀ — в одноименных единицах измерения.

В формулах (53) — (56) R получается в единицах измерения, принятых для r и R₀.

Радиусы Солнца и планет обычно выражаются в радиусах Земли (реже — в километрах), причем полярный радиус R_п, экваториальный радиус R_е и сжатие ε планеты связаны зависимостью

R_п = R_e(1-ε), (57)

а средний радиус

(58)

При совпадении направлений вращения и обращения небесного тела вокруг Солнца продолжительность его солнечных суток S, период вращения Ρ и период обращения Τ связаны зависимостью

(59)

и

(60)

а при противоположных направлениях одному из периодов приписывается знак минус.

Пример 1. У кометы, проходившей недалеко от Земли, горизонтальный экваториальный параллакс был 14",5, угловой диаметр головы 15' и видимая длина хвоста 8°. Вычислить линейные размеры головы и нижний предел длины хвоста кометы. (Наблюдатель видит проекцию хвоста на небесную сферу.)

Данные: р₀=14",5, ρ=15' и λ=8°.

Решение. Расстояние кометы от Земли может быть найдено либо по формуле (52):

либо при известном параллаксе Солнца p =8",794,

или

r = 0,6065·149,6·10⁶=90,73·10⁶ км.

Поскольку ρ<3°, то по формуле (54) линейный диаметр головы

Угловая длина хвоста λ=8°>3°, и поэтому для вычисления нижнего предела длины хвоста используется формула (53):

l=r sin λ = 0,6065·sin8° = 0,6065·0,1392=0,0844 а. е.,

или

l = 0,0844·149,6·10⁶= 12,6·10⁶ км.

Пример 2. Некоторая гипотетическая планета обращается вокруг Солнна в прямом направлении за 1,52 года, а вращается вокруг своей оси навстречу с периодом 32 сут. Найти продолжительность солнечных суток на планете.

Данные: T=1,52 года = 555^д, Р = 32^д.

Решение. Так как Р<Т, а направление вращения противоположно обращению, то, согласно формуле (59),

откуда продолжительность солнечных суток

S = (32 · 555) / 587 = 30^д, т. е. 30 земных суток.

Задача 147. Вычислить средний радиус и сжатие Земли, если ее экваториальный радиус равен 6378 км, а полярный радиус— 6357 км.

Задача 148. Радиоимпульс, направленный к Венере в ее нижнем соединении на среднем расстоянии от Солнца 0,7233 а. е., возвратился к Земле через 4м36с. Вычислить геоцентрическое расстояние планеты во время радиолокации, длину астрономической единицы в километрах и средний горизонтальный экваториальный параллакс Солнца.

Задача 149. При среднем противостоянии Марса посланный к нему радиосигнал возвратился к Земле через 522,6 с. Найти среднее гелиоцентрическое расстояние Земли и соответствующий ему горизонтальный экваториальный параллакс Солнца. Сидерический период обращения Марса равен 1,881 года.

Задача 150. Чему равен горизонтальный экваториальный параллакс Луны при ее среднем (384 400 км), ближайшем (356 410 км) и наибольшем (406 740 км) геоцентрическом расстоянии? Экваториальный радиус Земли — 6378 км.

Задача 151. По данным или результатам задачи 150 вычислить предельные значения диаметра лунного диска, который при среднем геоцентрическом расстоянии равен 31'05".

Задача 152. Пределы геоцентрического расстояния Луны, измеренного радиолокационным методом в 1975 г., были: 16 января —406 090 км; 28 января —357 640 км и 12 февраля— 406 640 км. Найти значения большой полуоси и эксцентриситета лунной орбиты в интервалах времени, заключенных между смежными датами.

Задача 153. Радиосигнал, направленный к Меркурию при его наибольшем сближении с Землей, вернулся на Землю через 8м52с. Определить геоцентрическое расстояние планеты и эксцентриситет ее орбиты, если большая полуось орбиты равна 0,387 а. е.

Задача 154. Синодический период обращения астероида Эрота составляет 2,316 года. 23 января 1975 г., в эпоху великого противостояния, его горизонтальный экваториальный параллакс был равен 58",26, а радиус-вектор Земли мало отличался от ее перигельного расстояния (эксцентриситет земной орбиты — 0,017). На каком расстоянии от Земли прошел в этот день астероид и чему равны большая полуось и эксцентриситет его орбиты?

Задача 155. Чему равны горизонтальные экваториальные параллаксы Урана и Нептуна в противостоянии при их среднем, перигельном и афелийном расстояниях? Большая полуось и эксцентриситет орбиты первой планеты равны 19,19 а. е. и 0,0460, а второй —30,07 а. е. и 0,0079. Орбиту Земли считать окружностью, а параллакс Солнца принять равным 8",794.

Задача 156. В каких пределах меняется горизонтальный экваториальный параллакс Солнца, если при среднем гелиоцентрическом расстоянии Земли он равен 8",794, а эксцентриситет земной орбиты — 0,0167?

Задача 157. Вычислить линейный радиус Луны в радиусах Земли и в километрах, если при горизонтальном экваториальном параллаксе в 55',1 радиус лунного диска равен 15'0.

Задача 158. При среднем противостоянии горизонтальный экваториальный параллакс Юпитера равен 2",09, а Сатурна— 1",03. Вычислить экваториальный, средний и полярный радиусы, а также сжатие этих планет, если у первой угловой экваториальный диаметр составляет 46",8, угловой полярный диаметр 43",9, а у второй — соответственно 19",4 и 17",5.

Задача 159. Узнать линейные размеры большого диаметра Красного пятна на Юпитере и диаметр радиационного пояса планеты, если пятно видно с Земли под углом около 10", а радиоизлучение планеты наблюдается из окружающего ее пространства вплоть до расстояния в 13',7 от центра ее диска. Параллакс Юпитера принять равным 2",09.

Задача 160. Горизонтальный экваториальный параллакс Солнца равен 8",794, а его угловой диаметр — 32'. Вычислить линейный радиус Солнца в сравнении с земным и линейные диаметры солнечных пятен с угловыми диаметрами в 0",8 и 24".

Задача 161. Во время противостояния Юпитера при его среднем расстоянии от Солнца в 5,20 а. е. наблюдаемая с Земли наибольшая элонгация его четырех галилеевых спутников, обращающихся по незначительно вытянутым орбитам, составляет соответственно 138",5; 220",3; 351",2 и 618",1. Найти значения больших полуосей орбит этих спутников.

Задача 162. На каких примерно расстояниях обращаются вокруг Марса его спутники Фобос и Деймос, которые по наблюдениям с Земли при среднем противостоянии планеты удаляются от нее соответственно на 24'',7 и 61",8? Большая полуось орбиты Марса равна 1,524 а. е.

Задача 163. С какой угловой и линейной скоростью вращаются точки лунного экватора и селенографических параллелей с широтой 30° и 60°? Диаметр Луны — 3476 км, а период ее вращения — 27д,32.

Задача 164. Экваториальная зона планеты Юпитера диаметром в 142 800 км вращается с периодом 9ч50м, а средняя зона, диаметр которой 139400 км, — с периодом 9ч55м. Найти угловую и линейную скорость точек экватора планеты и параллелей с широтой +30° и +60°.

Задача 165. За 1 час наблюдений детали поверхности планеты Марса сместились по долготе на 14°,62. Вычислить период вращения Марса и линейную скорость вращения точек его экватора и параллелей с широтой —20° и —50°. Диаметр Марса — 6800 км.

Задача 166. Найти географическую широту точек земной поверхности, линейная скорость вращения которых в два, четыре и восемь раз меньше линейной скорости экватора.

Задача 167. Меркурий и Луна вращаются в направлении своего орбитального движения, первый с периодом в 58д,65, а вторая с периодом в 27д,32. Период обращения Меркурия вокруг Солнца равен 88д, а Луна обращается вокруг него вместе с Землей. Чему равна продолжительность солнечных суток на Меркурии и на Луне?

Задача 168. Какая продолжительность солнечных суток в современных единицах измерения была бы на Земле, Луне и Меркурии, если бы эти небесные тела вращались навстречу орбитальному движению, т. е. с востока к западу? Необходимые данные заимствовать из предыдущей задачи.

Задача 169. Найти продолжительность солнечных суток на Венере, которая вращается с периодом в 243д,16 в обратном направлении, а обращается вокруг Солнца в прямом направлении за 225д. Какова была бы продолжительность солнечных суток при совпадении направлений вращения и обращения?

Ответы - Расстояния, размеры и вращение тел Солнечной системы