Пересечение прямой с плоскостью

Прямая называется пересекающей плоскость, если она имеет с ней только одну общую точку. Рассмотрим различные случаи пересечения прямой и плоскости.

Частные случаи:

Пример 1. Прямая – проецирующая, плоскость – частного положения.

На КЧ необходимо построить проекции точки пересечения прямой с плоскостью и определить видимость этой прямой относительно горизонтальной и фронтальной плоскостей проекций.

Точка К должна одновременно принадлежать и прямой, и плоскости.

1) Горизонтальную проекцию точки пересечения находим из условия принадлежности ее прямой i. Так как все точки, лежащие на горизонтально-проецирующей прямой, совпадают с ее следом: К₁ º i₁.

2) Определение фронтальной проекции точки пересечения сводится к задаче на принадлежность точки К плоскости :

.

Рис. 3.18

Пример 2. Прямая – общего положения, плоскость – проецирующая.

Рис. 3.19

 

В данном случае фронтальная проекция точки пересечения лежит на следе плоскости

.

Построение недостающей горизонтальной проекции точки пересечения сводится к задаче на принадлежность точки прямой:

.

Общий случай:

Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения (первая основная позиционная задача).

 

В общем случае задача на пересечение прямой с плоскостью решается с помощью вспомогательной секущей плоскости, на которую накладывается ряд условий:

1) она должна быть плоскостью частного положения;

2) должна проходить через заданную прямую

Рис. 3.20

Порядок нахождения точки пересечения прямой с плоскостью:

1) Через прямую l проводится вспомогательная плоскость частного положения .

2) Определяется линия пересечения вспомогательной плоскости с заданной плоскостью .

3) На пересечении линии пересечения плоскостей с заданной прямой находится точка К, являющаяся искомой точкой.

 

 

 

Рис. 3.21

Лекция 5

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ГЕОМЕТРИЧЕКСКИХ ОБЪЕКТОВ

Проецирование прямого угла

В общем случае плоский угол проецируется на плоскость проекций с искажением.

Возьмем две прямые общего положения l и k. Прямая l пересекает горизонтальную плоскость проекций под углом a, а прямая k – под углом a¢. Между собой прямые пересекаются под произвольным углом j. Прямоугольная проекция угла j₁ определяется по формуле:

.

Рис. 4.1

Пусть , , тогда при .

.

При , , следовательно, .

Теорема о проецировании прямого угла:

Прямой угол на плоскость проекций проецируется без искажения, если, по крайней мере, один из его лучей параллелен этой плоскости проекций.

Пусть прямые l(АВ) и k(АС) пересекаются под прямым углом. Прямая l параллельна горизонтальной плоскости проекций. Тогда:

1. .

2. .

Рис. 4.2

Все прямые, лежащие в плоскости , на горизонтальную плоскость проекций проецируются перпендикулярно следу плоскости .

Пример: Построить перпендикуляр из точки А к горизонтали.

Рис. 4.3