Основные свойства параллельного проецирования

При проецировании на плоскость проекций формы и размеры некоторых геометрических элементов могут искажаться. Однако существуют некоторые их свойства, которые всегда остаются неизменными (инвариантными).

1. Проекция точки есть точка.

Это очевидно из самого определения проекции как точки пересечения проецирующего луча с плоскостью проекций.

Следует помнить, что любой точке пространства соответствует только одна проекция на плоскости. Обратная формулировка этого свойства неверна, т.к. каждой проекции точки может соответствовать бесчисленное множество точек в пространстве. Это значит, что одна проекция точки не определяет ее положение в пространстве.

2. Проекцией прямой в общем случае является прямая.

Все проецирующие лучи, проходящие через прямую, заданную отрезком АВ, образуют проецирующую плоскость АВВ¢А¢, которая пересекает плоскость проекций по прямой (рис. 1.3 а). Исходя из этого справедливо и следующее утверждение.

 

Рис. 1.3

 

3. Прямая может быть проекцией не только прямой, но и любой кривой линии, если эта кривая находится в плоскости, перпендикулярной плоскости проекций (рис.1.3а).

4. Проекцией прямой, параллельной направлению проецирования, является точка.

Она называется вырожденной проекцией прямой (рис. 1.3б).

 

 

5. а) Если отрезок параллелен плоскости проекций, то он проецируется на нее в натуральную величину.

 

 

б) В противном случае, при прямоугольном параллельном проецировании он имеет проекцию меньшую истиной величины.

Рис. 1.4

Рис. 1.5

 

 

6. Если точка принадлежит прямой, то проекция этой точки лежит на проекции этой прямой.

 

7. Если точка, лежащая на прямой, делит ее на отрезки в каком-либо отношении, то проекция этой точки поделит проекцию этой прямой в том же отношении.

 

8. Если прямые пересекаются, то их проекции тоже пересекаются. Причем проекция точки пересечения прямых является точкой пересечения проекций.

Рис. 1.6

 

 

Точка N одновременно принадлежит прямым (A-B) и (C-D). По шестому инвариантному свойству проекция этой точки должна принадлежать проекциям этих прямых, а следовательно, быть точкой пересечения проекций.

9. Проекции параллельных прямых параллельны между собой.

Плоскости Q и S, проходящие через две параллельные прямые, параллельны, т.к. две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым второй плоскости.

.

Параллельные плоскости пересекаются с третьей плоскостью по параллельным прямым, следовательно, .

Рис. 1.7