Пересечение поверхности вращения плоскостью

Форма сечения поверхности вращения плоскостью зависит от угла наклона секущей плоскости к оси вращения поверхности.

Если секущая плоскость:

1) перпендикулярна оси вращения, сечение – окружность;

2) наклонена к оси и пересекает все образующие – эллипс;

3) параллельна одной образующей – парабола;

4) параллельна двум образующим – гипербола;

5) проходит через вершину – две пересекающиеся прямые;

6) касается поверхности – прямая.

Вся совокупность этих линий может быть получена при пересечении конуса плоскостью. Поэтому их называют коническими сечениями, или кониками.

Рис. 6.14

Для построения линии пересечения необходимо найти общие точки поверхности и заданной плоскости. Для определения этих точек необходимо ввести дополнительные секущие плоскости, которые дают наиболее простые линии сечения – окружности или ломаные прямые.

Построение линии сечения начинают с нахождения характерных точек сечения, к которым относятся:

1) высшая и низшая точки;

2) крайняя левая и крайняя правая точки, в которых проекции линии сечения касаются очерковых образующих (точки, лежащие на границе видимости);

3) ближайшая и наиболее удаленная точки сечения.

Пример: Определить линию сечения конуса плоскостью общего положения Q(hÇf). Построить развертку нижней отсеченной поверхности конуса.

Анализ формы линии пересечения

Заданная плоскость пересекает только боковую поверхность конуса, следовательно, линией сечения q является эллипс.

Характерные точки линии пересечения:

1) Высшая и низшая точки сечения (А, В) определяют большую ось эллипса и лежат на линии наибольшего наклона плоскости к плоскости основания конуса. Эти точки определяются с помощью дополнительной плоскости .

О – центр эллипса

2) Малая ось эллипса (С, D) перпендикулярна к линии наибольшего наклона (большой оси), т.е. лежит на горизонтали плоскости .

3) Точки границы видимости (E, F) сечения на лежат в плоскости , делящей конус на видимую и невидимую части по отношению к фронтальной плоскости проекций.

Рис. 6.15

 

Развертка

 

Полная развертка боковой поверхности конуса представляет собой угол кругового сектора. Ее можно построить двумя способами:

 

1. Нахождение угла кругового сектора.

Рис. 6.16

 

где d – диаметр окружности основания конуса,

l – длина образующей.

 

2. Способ малых хорд.

Графическое построение величины осуществляется способом малых хорд, при котором окружность основания конуса делится на 8 или 12 равных частей и полученная длина дуги приравнивается ее хорде.

Разрывать отсеченную боковую поверхность следует по наиболее короткой или длинной образующей, так чтобы развертка представляла собой симметричную фигуру и была единым целым.

Рис. 6.17

Пересечение поверхностей

Пересечение многогранников

Многогранники пересекаются по замкнутым пространственным ломаным линиям, которые могут быть найдены следующим образом:

1. Способ ребер. Находятся точки пересечения ребер одного многогранника с гранями другого.

2. Способ граней. Определяются отрезки прямых, по которым грани одного многогранника пересекаются с гранями другого.

Пример: Построить линию пересечения двух трехгранных призм, одна из которых проецирующая.

В результате пересечения заданных многогранников получается ломаная пространственная линии. Она соединяет соответствующие точки пересечения ребер одного многогранника с гранями другого. Так как одна из призм проецирующая относительно горизонтальной плоскости проекций, горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с горизонтальным очерком этой призмы. Искомые точки сечения можно получить, решая задачу на пересечение прямой (ребра) с плоскостью (гранью).

, .

, .

Для построения точек пересечения ребра b с гранями призмы, используется горизонтально-проецирующая плоскость .

.

.

Рис. 6.18

Для определения видимости линии сечения строится диаграмма, на которой схематично в произвольных размерах изображаются грани заданных призм. Знаками ²+² и ²-² отмечается видимость граней многогранников. На соответствующих гранях и ребрах наносятся точки сечения, и соединяют их с учетом видимости. Видимыми считаются те звенья линии пересечения, которые лежат на видимых гранях обоих многогранников.

Лекция 11