Критерии исключения грубых погрешностей

При однократных измерениях промах обнаружить невозможно. Для уменьшения вероятности появления промахов измерения проводят два-три раза и за результат принимают среднее арифметическое значение полученных отсчетов. При многократных измерениях для обнаружения промахов используют статистические критерии, предварительно определив, какому виду распределения соответствует результат измерений.

Для выявления грубых погрешностей задаются вероятностью q (уровнем значимости) того, что сомнительный результат действительно мог присутствовать в данной совокупности результатов измерений.

Критерий «трех сигм» применяется для результатов измерений, распределенных по нормальному закону. По этому критерию считается, что результат, возникающий с вероятностью q ≤ 0,003 маловероятен, и его можно считать промахом, если граница цензурирования , где – оценка СКО измерений, а все признаются промахами и исключаются из дальнейших расчетов. Величины и вычисляют без учета экстремальных значений . Данный критерий надежен при числе измерений n ≥20…50.

Это правило обычно считается слишком жестким, поэтому рекомендуется назначать границу цензурирования в зависимости от объема выборки:

при 6 < n ≤ 100 ,

при 100 < n ≤ 1000 ,

при 1000 < n ≤ 10000 .

 

Критерий Романовского применяется, если число измерений n < 20. При этом вычисляется отношение и сравнивается с критерием , выбранным по табл.2.2.

 

Таблица 2.2

Значения критерия Романовского β = f(n)

 

q	n=4	n=6	n=8	n=10	n=12	n=15	n=20
0,01	1,73	2,16	2,43	2,62	2,75	2,90	3,08
0,02	1,72	2,13	2,37	2,54	2,66	2,80	2,96
0,05	1,71	2,10	2,27	2,41	2,52	2,64	2,78
0,10	1,69	2,00	2,17	2,29	2,39	2,49	2,62

 

Если β ≥ , то результат считается промахом и отбрасывается.

Пример 1. При диагностировании топливной системы результаты пяти измерений расхода топлива составили: 22, 24, 26, 28, 30 л на 100 км. Последний результат вызывает сомнение. Проверить по критерию Романовского, не является ли он промахом.

Решение. Находим среднее арифметическое значение расхода топлива и его СКО без учета последнего результата, то есть для четырех измерений. Они соответственно равны 25 и 2,6 л на 100км.

Поскольку n < 20, то применяется критерий Романовского. При уровне значимости 0,01 и n = 4 табличный коэффициент = 1,73. Вычисленное для последнего, пятого измерения β = │(25-30) / 2,6│= 1,92 > 1,73.

Критерий Романовского свидетельствует о необходимости отбрасывания последнего результата измерения.

Критерий Шарлье используется, если число наблюдений в ряду велико (n > 20). Тогда (по теореме Бернулли) число результатов, превышающих по абсолютному значению среднее арифметическое значение на величину , будет

,

где - значениенормированнойфункции Лапласа для . Если сомнительным в ряду результатов наблюдений является один результат, то = 1. Отсюда . Значения критерия Шарлье приведены в табл. 2.3.

Пользуясь критерием Шарлье, отбрасывают результат, для которого в ряду из n наблюдений выполняется неравенство

Таблица 2..3

Значения критерия Шарлье

 

n
	1,3	1,65	1,96	2,13	2,24	2,32	2,58

 

Вариационный критерий Диксона Кд удобный и достаточно мощный (с малыми вероятностями ошибок). Применяется при числе наблюдений n < 30. При его применении полученные результаты наблюдений записывают в вариационный возрастающий ряд . Критерий Диксона определяется как Критическая область для этого критерия . Значения z_q приведены в табл.2.4.

Пример 2. Было проведено пять измерений напряжения в электросети. Получены следующие результаты: 127,1; 127,2; 126,9; 127,6; 127,2. Результат 127,6В существенно (на первый взгляд) отличается от остальных. Проверить, не является ли он промахом.

Решение. Составим вариационный ряд из результатов измерений напряжения в электросети: 126,9; 127,1; 127,2; 127,2;

127,6. Для крайнего члена этого ряда 127,6 критерий Диксона

 

Кд = (127,6 – 127,2) / (127,6 – 126,9) = 0,4 / 0,7 = 0,57

 

 

Таблица 2.4

Значения критерия Диксона

 

n	при q, равном
0,10	0,05	0,02	0,01
	0,68	0,76	0,85	0,89
	0,48	0,56	0,64	0,70
	0,40	0,47	0,54	0,59
	0,35	0,41	0,48	0,53
	0,29	0,35	0,41	0,45
	0,28	0,33	0,39	0,43
	0,26	0,31	0,37	0,41
	0,26	0,30	0,36	0,39
	0,22	0,26	0,31	0,34

 

 

Как следует из табл.2.4 по этому критерию результат 127,6В может быть отброшен как промах лишь на уровне значимости q = 0,10.

Применение рассмотренных критериев требует осмотрительности и учета объективных условий измерения. Оператор должен исключить результат наблюдения с явной грубой погрешностью и выполнить новое измерение. Но нельзя просто отбрасывать более или менее резко отличающиеся от других результаты наблюдений. В сомнительных случаях лучше сделать дополнительные измерения (не взамен сомнительных, а кроме них) и затем использовать рассмотренные критерии.

 

СУММИРОВАНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ

 

Суммирование систематических погрешностей.

Неисключенная систематическая погрешность результата измерения включает составляющие, обусловленные методом, средствами измерений и другими источниками. Если случайные погрешности малы, то в качестве границ неисключенной систематической погрешности принимают пределы допускаемых основных и дополнительных погрешностей СИ.

При суммировании неисключенных систематических погрешностей их рассматривают как случайные величины с равномерным законом распределения.

1. Границы неисключенных систематических погрешностей результата измерения определяются по формуле

,

где - граница i – й неисключенной систематической погрешности;

- число неисключенных систематических погрешностей;

- коэффициент, зависящий от числа слагаемых , их соотношения и доверительной вероятности Р.

2. При Р < 0,99 коэффициент k мало зависит от и может быть представлен усредненными значениями, приведенными в табл. 2.5. Их погрешность не превышает 10%.

Таблица 2.5

Значения коэффициента k для различных значений Р и m

 

P	Значение k при m равном	Среднее значение
				¥
0,90	0,97	0,96	0,95	0,95	0,95	0,95
0,95	1,10	1,12	1,12	1,12	1,13	1,10
0,99	1,27	1,37	1,41	1,42	1,49	1,4

 

3. При Р ³ 0,99 коэффициент k значительно зависит от числа слагаемых m и соотношения между ними. Поэтому при m > 4 рекомендуется принимать среднее значение k = 1,4, а при m £ 4 значение k необходимо уточнить по ГОСТ 8.207-76 или табл.2.6.

 

 

Таблица 2. 6

 

Значения коэффициента k для различных значений m, C при Р = 0,99

 

m	Значение k при С, равном
	0,.5
	0,98	1,15	1,27	1,22	1,15	1,12	1,08	1,07	1,05
	1,27	1,32	1,37	1,32	1,24	1,18	1,15	1,12	1,08
	1,38	1,40	1,41	1,36	1,28	1,23	1,18	1,15	1,11

 

Параметр С, равный отношению границ составляющих систематической погрешности , принимается равным наименьшему значению указанного отношения при условии, что .

4. При большом числе слагаемых результирующая погрешность имеет практически нормальное распределение. Оценка дисперсии этого распределения равна сумме дисперсий слагаемых

.

Задавшись доверительной вероятностью, получим Q как границу доверительного интервала , где - квантиль нормального распределения при выбранном уровне значимости q = 1 – P.