Доходность и риск инвестиционного портфеля

Под ожидаемой доходностью портфеля понимается средневзвешенное значение ожидаемых значений доходности ценных бумаг, входящих в портфель. При этом веса каждой ценной бумаги определяется относительным количеством денег, направленных инвестором на покупку этой ценной бумаги. Ожидаемая доходность инвестиционного портфеля равна:

(7.1)

где Е(r_р) – ожидаемая норма отдачи портфеля;

W_i – доля в общих инвестиционных расходах, идущая на приобретение i-той ценной бумаги;

Е(r_i) – ожидаемая доходность i-той ценной бумаги;

n – количество ценных бумаг в портфеле.

В свою очередь, ожидаемая доходность i-той ценной бумаги рассчитывается как средневзвешенное значение доходности i-той ценной бумаги за N периодов:

(7.2)

где r_t – доходность i-той ценной бумаги в конце периода t;

P_t – вероятность получения доходности r_t по i-той ценной бумаге в конце периода t;

N – количество периодов наблюдения доходности i-той ценной бумаги;

Поскольку при N наблюдениях случайной величины вероятность конкретного результата – это величина обратная количеству наблюдений, получаем:

. (7.3)

Риск ценной бумаги измеряется с помощью дисперсии :

. (7.4)

Однако при определении риска портфеля ценных бумаг следует учитывать, что его дисперсию нельзя найти как средневзвешенную величину дисперсий входящих в портфель ценных бумаг. Это объясняется тем, что дисперсия портфеля зависит не только от дисперсий входящих в портфель ценных бумаг, но также и от взаимосвязи доходностей ценных бумаг портфеля друг с другом. Иными словами, риск портфеля объясняется не только индивидуальным риском каждой отдельно взятой ценной бумаги портфеля, но и тем, что существует риск воздействия изменений наблюдаемых ежегодных величин доходности одной ценной бумаги на изменения доходности других бумаг, включаемых в инвестиционный портфель. Взаимозависимость двух случайных величин (доходностей ценных бумаг) измеряют с помощью ковариации и коэффициента корреляции.

Ковариация между величинами доходности 2-х ценных бумаг рассчитывается по формуле

, (7.5)

где σ_i,j – ковариация между величинами доходности ценной бумаги i и ценной бумаги j;

r_j,t и r_j,t – доходность ценных бумаг i и j в момент времени t;

Е(r_i), Е(r_j) – ожидаемая среднеарифметическая доходность ценных бумаг i и j;

N – количество периодов наблюдения доходности ценных бумаг i и j.

Положительное значение ковариации означает, что в движении доходности двух ценных бумаг имеется тенденция изменяться в одних и тех же направлениях: если доходность одной ценной бумаги возрастает, то доходность другой ценной бумаги также растет, и наоборот. Если тенденция обратная, то есть увеличению доходности одной ценной бумаги соответствует снижение доходности другой бумаги, то считается, что между доходностями таких ценных бумаг существует отрицательная ковариация.

Основываясь на данных о ковариации между доходностями двух ценных бумаг, можно вычислить коэффициент корреляции по следующей формуле:

, (7.6)

где σ_i, – стандартное отклонение доходности i-той ценной бумаги от ее ожидаемой среднеарифметической доходности;

σ_j – стандартное отклонение доходности j -той ценной бумаги от ее ожидаемой среднеарифметической доходности.

Стандартные отклонения ценных бумаг i и j можно вычислить следующим образом:

, (7.7)

. (7.8)

Если в исследуемый портфель входят n ценных бумаг, то дисперсию инвестиционного портфеля в целом можно вычислить по формуле

(7.7)

или

. (7.8)