Электроёмкость уединённого проводника

 

Как было показано в разд. 1.14, заряженный проводник эквипотенциален, а избыточный заряд определённым образом распределён по его поверхности.

Характер распределения заряда по поверхности проводника зависит от формы проводника*.

Если сообщить проводнику дополнительный заряд, то он распределится по его поверхности подобно первой порции заряда, поскольку форма проводника, по условию, не изменяется.

Но это означает, что при увеличении заряда уединённого проводника в n раз во столько же раз увеличится и напря-жённость поля, созданного проводником.

Это, в свою очередь, означает, что в n раз возрастёт и работа, необходимая для перемещения пробного заряда из бесконечности к проводнику, т. е. его (проводника) потенциал.

Следовательно, заряд проводника и его потенциал прямо пропорциональны друг другу.

Отношение заряда проводника к его потенциалу называется электроёмкостью (или просто ёмкостью) уединённого провод-ника:

.

Размерность электроёмкости [ С ] = Кл/В = Ф (фарада).

Следует заметить, что на практике используются меньшие величины единицы ёмкости. Это микрофарада (мкФ), равная
1^.10^-6Ф, и пикофарада (пФ), равная 1^.10^-12Ф и др.

Важно отметить, что ёмкость проводника зависит от окружающих его тел.

Это объясняется тем, что окру-жающие тела значительно влияют на поле, созданное проводником, за счёт индуцированных в окружающих те-лах зарядов. Например, при прибли-жении к положительно заряженной плоскости другого проводника на нём происходит перераспределение заря-дов: на ближайшей к заряженной плоскости поверхности скапливают-ся отрицательные заряды, на удалённой – положительные. Эти заряды создают электрическое поле, которое в свою очередь влияет на распределение зарядов на плоскости.

__________________

 

* Если вокруг данного проводника имеются другие тела, то это повлияет на распределение заряда по поверхности проводника; но в данном случае рас-сматривается уединенный проводник.

Поскольку отрицательные заряды в данном случае распо-ложены к плоскости ближе, их влияние сильнее и потенциал плоскости понизится. Это означает, что ёмкость плоскости растёт.

Полученный вывод является общим: электрическая ёмкость проводника, окружённого другими проводниками, всегда больше ёмкости такого же уединённого проводника.

 

Конденсаторы

 

Если взять систему из двух проводников*, имеющих одинаковые по величине и противоположные по знаку заряды, то мы получим конденсатор – устройство, ёмкость которого намного больше ёмкости уединённого проводника и не зависит от ёмкости окружающих тел**.

Основной характеристикой конденсатора является его ёмкость С, определяемая выражением , где q – заряд обкладки конденсатора, j_{1 –} j₂ – разность потенциалов между обкладками конденсатора.

В данном случае разность потенциалов между обкладками конденсатора равна напряжению на конденсаторе j₁ – j₂ = U. Поэтому определение ёмкости конденсатора можно записать в таком виде: .

Ёмкость конденсатора зависит от площади обкладок конденсатора, формы обкладок, расстояния между ними, ди-электрической проницаемости вещества, заполняющего прост-ранство между обкладками конденсатора.

Рассмотрим в качестве примера плоский конденсатор. Это устройство из двух проводящих плоскостей, параллельных друг другу и разделённых слоем диэлектрика.

Если размеры пластин достаточно велики по сравнению с расстоянием d между ними, то заряд распределён по поверхности пластин равномерно с плотностью s = q / S.

 

_____________________

 

* Такие проводники принято называть обкладками.

** Емкость конденсатора не зависит от окружающих тел, поскольку практически все поле сосредоточено между его обкладками.

 

 

Одна пластина создаёт поле напряжённостью ; в соответствии с принципом суперпозиции поле между пластинами , вне пластин Е = 0.

Поскольку , то

.

Отсюда ёмкость плоского конденсатора

.

 

Соединение конденсаторов

 

В практической деятельности часто используются соединения нескольких конденсаторов. Два основных способа соединения конденсаторов – параллельное и последовательное. Рассмотрим эти способы и рассчитаем суммарную ёмкость всех соединённых конденсаторов.

Последовательное соединение. По-следовательным называют соединение конденсаторов, показанное на рисунке.

С 1 С 2

Если соединённые таким образом конденсаторы подключить к батарее, то левая обкладка С ₁ получит от батареи заряд q, а правая обкладка С ₂ – такой же по величине и противоположный по знаку заряд - q.

Внутренние обкладки конденсаторов С ₁ и С ₂ заряда от батареи не получают. Но если левая обкладка С ₁ заряжена положительно, то на правую перетечёт такой же заряд противоположного знака с левой обкладки С ₂. Поэтому все обкладки конденсаторов будут иметь одинаковые по величине заряды q.

При таком соединении суммарная разность потенциалов на всех конденсаторах равна сумме разностей потенциалов на них Dj = Dj₁ + Dj₂.

Суммарную разность потенциалов Dj можно выразить через заряд и суммарную ёмкость конденсаторов C: .

Разность потенциалов между обкладками каждого из конденсаторов можно выразить аналогичным образом: .

Заменяя разности потенциалов на приведённые выражения, получаем

и, сокращая заряд, получаем выражение для суммарной ёмкости последовательно соединённых конденсаторов

.

Таким образом, величина, обратная суммарной ёмкости конденсаторов, равна сумме обратных каждой из ёмкостей величин. Очевидно, что если соединены не два, а несколько конденсаторов, в сумме будет столько членов, сколько соединено конденсаторов.

Параллельное соединение. Параллельным называют показанное на ри сунке соединение конденсаторов.

С 1

При таком соединении разность потен-циалов между обкладками всех конденсаторов одинакова.

С 2

Заряд на обкладках первого конденсатора
q ₁ = C ₁Dj, заряд на обкладках второго –
q ₂ = C ₂Dj.

Суммарный заряд на всех конденсаторах
q = q ₁+ q ₂ можно выразить через суммарную ёмкость соединённых конденсаторов: q = C Dj.

Это означает, что С Dj = С ₁Dj + С ₂Dj и суммарная ёмкость конденсаторов, соединённых параллельно, равна сумме ёмкостей всех соединённых конденсаторов:

С = С ₁ + С ₂.