Параметры объектов оптимизации

 

Как уже отмечалось, под параметрами объекта оптимизации понимают физические величины, в своей совокупности достаточные для его описания.

Взаимосвязь параметров и их значений аналогична взаимосвязи алгебраической величины и ее числового значения. В записи t= 17 ⁰C температура t – алгебраическая величина, 17 ⁰С – ее числовое значение. В записях Х ₄ = S или Х ₄ = 8,2 м, Х ₄ – параметр, S или 8,2 м – его значение.

Придав всем параметрам конкретные числовые значения, мы получим один из вариантов объекта. При этом должны быть определены все параметры, не должно остаться неопределенных.

Систему параметров объекта, имеющего конкретную структуру, можно сформировать различным образом, однако в любом случае число параметров неизменно. Например, для дважды симметричного коробчатого сечения балки (рис.2.2) можно предположить такие системы параметров: 1) h, b, d_n, d_с (см.2.2,а); 2) H, B, h, b (см.2.2,б); 3) h, b, d _n, d_с (см.2.2,в) и т.д.

 

 

Рис.2.2. Дважды симметричное коробчатое сечение балки

 

 

Составление системы параметров - это очень важный этап оптимального проектирования, во многом определяющий его стадии.

При формировании системы параметров следует стремиться к тому, чтобы любой параметр мог принимать любые значения в достаточно широком диапазоне независимо от значений других параметров. Например, для многозвенных стреловых систем кранов, уравновешивающих устройств, клещевых грузозахватов, грейферных механизмов систему параметров желательно составить так, чтобы при любом сочетании их значений выполнялись условия существования механизма.

Желательно, чтобы изменение каких-либо параметров существенно влияло на характеристики объекта в полезном для нас смысле.

Поясним сказанное примерами. Шарнирно-сочлененная стрела с грузовыми канатами, идущими вдоль ее элементов, описывается девятью параметрами, к числу которых могут быть отнесены (рис.2.3,а) длины звеньев l₁ .... l₆, угол l ₇ наклона стойки, вылеты от оси качания l₈ и l₉. В этой системе параметров не все они могут принимать значения независимо от остальных. В частности, допустимы лишь такие значения l₁, l₂, l_3, при которых выполняется условие l₁+l₂ >l_3. Кроме того, необходимо соблюдение векторных равенств l₁+l₄=l₆+l₅+l₃, что соответствует двум скалярным равенствам, получаемым при проектировании векторов на координатные оси.

Наконец, присвоение параметрам l₈ и l₉ числовых значений означает наложение ограничений по равенству, которые могут выполняться или не выполняться в зависимости от значений прочих параметров (при излишне коротких звеньях вылет l₉ может оказаться недостижимым). Такая система параметров неудачна уже потому, что на каждом шаге процесса оптимизации схемы стрелы пришлось бы прежде всего проверять выполнение многочисленных ограничений и отбрасывать не удовлетворяющие им варианты.

 

Рис.2.3. Схема шарнирно-сочлененного стрелового устройства

 

Более удачна система параметров, показанная на рис. 2.3,б. Здесь параметры Х₁, Х₂, Х₃, Х₄ (в рассматриваемом случае часто Х₃ = Х₄) в своей совокупности однозначно определяют длины переднего плеча хобота и стрелы, а все девять параметров - длины хобота и оттяжки. Кроме того, многие компоновочные ограничения (граничные вылеты, высота расположения конца хобота над корнем стрелы, конструктивность расположения нижнего шарнира оттяжки и др.) можно выполнить заданием значений определенных параметров. Вообще, чем больше параметров может быть задано из ограничений в форме равенств, тем лучше подходит система параметров для решения данной задачи оптимизации.

Выбор системы параметров является весьма важным этапом работы и требует глубокого понимания существа задачи и тонкой инженерной интуиции, поскольку он может влиять на всю стратегию решения, качественные свойства получаемого результата, быстроту сходимости вычислительного процесса оптимизации и т.д. Например, площадь F коробчатого сечения, которую следует минимизировать, в системе параметров по рис.2.2,а, имеет вид F = 2 (hd_c + bd_n), а по рис.2.2,б F = HB – hb (т.е. во втором случае вычисляется как разность величин, имеющих близкие числовые значения, что в принципе нежелательно).

Рассмотрим еще один пример. На рис. 2.4 показаны три варианта системы семи параметров для уравновешивающего механизма с шарнирным четырехзвенником и качающимся противовесом; углы j₀ и j_m установки стрелы на наибольшем и наименьшем вылетах являются ограничениями.

Первый вариант (рис.2.4,а) неудачен потому, что сочетания значений и параметров (Х₄, Х₅, Х₆) и (Х₁, Х₂, Х₃, Х₅, Х₇) могут оказаться несовместными. Второй и третий варианты (см. рис.2.4,б,в) свободны от этих недостатков. Пусть далее требуется обеспечить некоторое (обычно довольно малое) значение М_n (j_m) момента противовеса на наименьшем вылете. Оно может быть достигнуто при определенном малом значении параметра Х₆, что во втором варианте (см. рис.2.4,б) соответствует приближению заднего плеча противовеса к вертикали, а в третьем варианте (см. рис.2.4,в) - приближению тяги к прямой, проходящей через ось качания стрелы.

Таким образом, в зависимости от принимаемой системы параметров в данном случае получаются существенно разные решения.

Параметры, входящие в одну систему, могут иметь различные размерности; в рассмотренных примерах они являются линейными или угловыми величинами (см. рис. 2.3,2.4).

Рис. 2.4. Три варианта семи параметров уравновешивающего механизма

Возможны и более сложные случаи. Например, для уравновешивающего механизма по рис.2.4,б,в за параметры можно принять значения М_n1 и М_n2 уравновешивающего момента на граничных вылетах; тогда какие-либо две геометрические величины из Х₁... Х₇ (например, углы Х₅ и Х₆) будут производными, зависящими от М_n1 и М_n2 и остальных параметров; они должны определяться из некоторых функциональных зависимостей либо по некоторому алгоритму.

Большинство инженерных задач оптимального проектирования конструкций, в том числе подъемно-транспортных машин, являются многопараметрическими. При этом оказывается удобным пользоваться терминологией векторного анализа.

Параметры объекта оптимизации часто называют фазовыми координатами, поиск оптимальных параметров - поиском в многомерном пространстве, а сам объект оптимизации в его конкретном варианте – многокомпонентным вектором , составляющие которого по координатным осям суть оптимизируемые параметры Х₁... Х_n. При числе параметров, не более трех, такое представление можно интерпретировать геометрически.