Рассмотрим некоторые из названных и другие величины

Угловая скорость - вектор, численно равный dj / dt и направленный по оси вращения по правилу правого винта (если рукоятку правого винта вращать по направлению вращения тела, то направление поступательного движения винта покажет направление угловой скорости). Единицей измерения является [ ] = 1 рад/с (с^-1). Если вращение происходит с постоянной угловой скоростью ( =const), то =(j -j₀)/t, отсюда j = j₀ + t. Угловую скорость можно выразить следующим образом: = 2p / T = 2pn, где n=1/T - число оборотов в секунду, Т - период вращения.

При изменении угловой скорости вводят понятие углового ускорения:

[ e ] = 1 рад/с² (1/с²).

Угловое ускорение - вектор, совпадающий по направлению с угловой скоростью при ускоренном движении и противоположной ей – при замедленном. Угловое ускорение связано с тангенциальным (касательным) ускорением :

Т.к. , то ,

где - линейная скорость

Для характеристики динамики вращательного движения вводятся понятия мо мента силы и момента инерции.

Рассмотри движение материальной точки " А " с массой m по окружности радиусом r (рис. 1). Пусть на точку " А " массой m действует сила , лежащая в плоскости, перпендикулярной оси вращения О. Тогда точка приобретает постоянное тангенциальное ускорение а_t, определяемое тангенциальной составляющей силы :

F_t = F Sina = m (1)

Так как = re. Равенство (1) можно записать следующим образом:

F Sina = mre (2)

Умножив правую и левую часть равенства (2) на r получим:

Fr Sina = mr²e или M =Je, отсюда:

, (3)

где М=FrSina или в векторной форме: = [ ] - вращающий момент (момент силы ), J=mr² - момент инерции вращения материальной точки А массой m относительно оси «О».

 

Рисунок 1. Вращение материальной точки А массой m относительно оси «О»

Зависимость является вторым законом Ньютона для вращательного движения и называется основным уравнением динамики вращательного движения. Это же выражение справедливо и для характеристики вращательного движения твердого тела с учетом того, что J - момент инерции тела, характеризующий его инерционное свойство во вращательном движении относительно какой-либо оси. Для определения момента инерции твердого тела необходимо разбить тело на бесконечно малые элементы с массой dm, найти моменты инерции каждого элемента dJ и проинтегрировать их. Каждый элемент можно приближенно принять за материальную точку c , тогда:

 

или (4)

 

Для тел различной геометрической формы момент инерции рассчитывается по формулам, полученных при интегрировании выражения (4).

Для примера рассчитаем момент инерции однородного стержня длиной l и массой m, когда ось вращения ОО проходит через его середину

 

 

O

		dx

x

 

Рисунок 2. Момент инерции тонкого прямого стержня

относительно его центральной оси, перпендикулярной к стержню

На расстоянии х от оси вращения выделяем малый участок стержня длиной dx масса этого участка равна dm, тогда согласно формуле (4), момент инерции для этого участка запишется в виде

 

 

Для определения dm вводим линейную плотность, как , тогда , а момент инерции

Момент инерции для всего стержня запишется в виде:

Если ось вращения тела О₁О₁ параллельна оси симметрии ОО, но смещена от нее на расстояние d, то момент инерции I, относительно новой оси О₁О₁ определяется по теореме Штейнера

где I₀ - момент инерции тела относительно оси симметрии. рассчитаем момент инерции для однородного тонкого стержня длиной l и массой m, когда ось вращения проходит перпендикулярно к стержню через его конец

;

тогда

 

 

	O1
	O1

 

Рисунок 3. Момент инерции тонкого прямого стержня относительно оси.

 

Для других однородных тел геометрически правильной формы массой m относительно оси симметрии момент инерции рассчитывается по формулам:

1)для однородного сплошного цилиндра (диска) относительно продольной оси J=mR²/2, где m - масса цилиндра, R - его радиус;

2 ) для однородного шара радиуса R, массой m относительно оси, проходящей через его середину

3 ) для тонкого однородного кольца (обруча) радиуса R массой m относительно оси, проходящей через центр перпендикулярно к плоскости кольца J = mR² и т.д.

Для тел геометрически неправильной формы массы m момент инерции определяется экспериментальным путем.

Основное уравнение динамики вращательного движения тела можно записать в ином виде, учитывая, что , или

(5)

Величина называется импульсом момента сил, приложенных к телу, а d () - изменение момента количества движения тела (момента импульса тела).

Приведенное равенство (5) показывает, что изменение момента количества движения вращающегося тела равно импульсу момента приложенных к нему сил.

Если = О, то d () = 0 или , т.е. момент количества движения остается постоянным.

Это следствие называется законом сохранения момента количества движения: если сумма моментов сил , действующих на тело, равна нулю ( = 0), то момент импульса тела остается постоянным ( = const). Например, при выполнении «сальто» в прыжке человек «группируется», прижимая голову и ноги друг к другу, тем самым снижает момент инерции J своего тела; а так как = const, то угловая скорость вращения тела повышается и, следовательно, время переворота человека уменьшается.

Изучение законов вращательного движения в лабораторной работе производится с помощью маятника Обербека, который представляет собой крестовину, состоящую из 4-х стержней каждый длиной l/2, прикрепленных к втулке с осью (рис.4).

На стержнях фиксируются грузы массой m₁, которые могут быть закреплены симметрично на различных расстояниях от оси вращения. На шкив радиусом r, находящийся на оси вращения, наматывается нить, к свободному концу которой прикрепляется груз Р.

Если предоставить грузу Р возможность двигаться, то это падение будет происходить с ускорением а. При этом шкив со стержнями и расположенными на них грузами будет вращаться с угловым ускорением e, которое можно найти, измерив высоту h и время падения груза t.

(6)

где r - радиус шкива, на который наматывается нить.

Силой, создающей вращающий момент, является сила натяжения нити Т. Из второго закона Ньютона для груза Р следует + = m . Переходя от векторной суммы к алгебраической, проектируя на ось ОХ имеем: Р - Т = ma, откуда

 

T = P - ma = mg - ma = m(g-a) (7)

Тогда вращающий момент

M = Tr = m(g-a)r (8)

Момент инерции маятника может быть определен из основного уравнения вращательного движения:

J=M/e (9)

Подставляя в формулу (9) формулы (5) и (7) получим окончательное выражение для момента инерции маятника Обербека, определенного практически (экспериментально):

. (10)

 

С другой стороны, теоретически, момент инерции маятника может быть найден из формулы J_теорет J_k + 4J_{r p} (моментом инерции цилиндра радиуса r пренебрегаем), где J_k - момент инерции крестовины, J_rр - момент инерции груза относительно оси вращения. Считая груз материальной точкой массой m₁, его момент инерции можно найти по формуле J_rp= m₁R², где R - расстояние от оси вращения до центра масс груза.

Тогда момент инерции крестовины теоретически определяется по формуле:

где m₂ - масса «двойного» стержня, l – его длина (см. рис.4). (11)

Выполнение работы

1. Грузы m₁ на маятнике Обербека (крестовине) закреплены на некотором одинаковом расстоянии R от оси вращения (рис.4).

2. Измерить расстояние R от оси вращения до центра масс груза m₁.

3. Намотать нить на шкив крестовины и последнюю придерживать рукой.

4. Подвесить к нити груз массой m (100, 200 или 300 гр) и совместить нижнюю часть груза с верхней меткой на стене.

5. Дать возможность грузу массой m опускаться. Измерить время движения t груза на расстоянии h = 0,5 м от верхней до нижней меток на стене.

6. Результаты измерений занести в таблицу 1.

7. Измерения провести при двух различных грузах массой m по 3 раза с каждым при h=const.

8. По формулам 11, 12, 13 (см. ниже) по средним значениям «t» вычислить линейное ускорение «a», угловое ускорение «e», вращающий момент «M», действующий на маятник

(12)

где r – радиус шкива, на который наматывается нить.

(13)

9. По формуле «14» высчитать момент инерции, найденный практически

J_практ = М / e (14)

 

10. Вычислить теоретически момент инерции «J_теорет» по формуле (15) и сравнить с результатом J_практ, полученным в пункте 9 (формула 14).

(15)

Сравнивая J_практ = М/e, найденный из основного уравнения динамики вращательного движения (e= M/J), с его теоретическим значением в работе проверяется справедливость основного уравнения динамики вращательного движения e = M/J.

 

11. Вычислить абсолютную по формуле (16) и относительную по формуле (17) погрешность измерений для одной из серий результатов.

Вычисление погрешностей

1) Абсолютная погрешность измерения практического значения момента инерции маятника Обербека:

 

, (16)

где .

2) Относительная погрешность измерения практического значения момента инерции маятника Обербека:

 

(17)

 

 

Таблица 1

Результаты измерений и вычислений

№	R, м	m, кг	t, с	м/с^2	a/r 1/с^2	M=m(g-a)r, Н^.м	кг^.м^2	кг^.м^2
Cр
Ср

m₁=154 г = 0,154 кг – масса каждого груза на стержне,

m₂ =184 г=0,184 кг – масса каждого из 2-х стержней,

l =52 cм=0,52 м – длина стержня,

r =1 см=0,01м – радиус шкива,

g =9,8 м/с², h =0,5 м, Dh =1см=0,01м

 

Рисунок 4. Маятник Обербека

 

Контрольные вопросы

1. Перечислите величины, характеризующие кинематику вращательного движения, момент инерции и единицы его измерения.

2. Момент инерции различных тел (с выводом формул для стержня, тонкого кольца, тонкой сферы и др.).

3. Момент силы (векторная форма записи), направление и единицы его измерения.

4. Основное уравнение динамики вращательного движения.

5. Закон сохранения момента количества движения (привести примеры использования его на практике).

6. Сочленения и рычаги в опорно-двигательном аппарате человека.

7. Центрифугирование.

 

Лабораторная работа №2