Анализ результатов совместных измерений

 

33.1. Цель и особенности эксперимента по определению функ­циональной зависимости

 

На практике сама необходимость измерений большинства величин вызывается именно тем, что они не остаются постоянными, а изменяются в функции от изменения других величин. В этом случае целью измерений является установление вида функциональной зависимости . Для это­го должны одновременно определятся как значения x, так и соответствую­щие им значения y, а задачей эксперимента является, как приня­то теперь говорить, установление математической модели исследуемой зависимости.

Определение математической модели включает в себя указание вида мо­дели и определение значений ее параметров (коэффициентов, показателей степени и т. д.). Искомая функция может быть как функцией одной независимой переменной, так и функцией многих переменных. В совре­менной теории эксперимента независимые переменные принято называть факторами, а зависимую переменную y - откликом. В соответствием с этим эксперимент по определению функции вида y=f (x) принято именовать однофакторным, а эксперимент по определению функции вида y = f (x ₁, x ₂,..., x _k) - многофакторным.

Именно однофакторный эксперимент мы и будем подробно рассмат­ривать. Однако большинство методов обработки прямо переносятся и в слу­чае многофакторного эксперимента.

Возможны два основных варианта реализации совместных измере­ний ве­личин x и y: активный и пассивный эксперимент.

В активном (или планируемом) эксперименте значения аргумента x ₁, x ₂,..., x _k выбирают заранее и последовательно воспроизводят эти значе­ния, выполняя при каждом фиксированном значении аргумента x _i измере­ние соответствующей величины y _i. В этом случае x на­зывают контролируе­мой переменной.

В пассивном (непланируемом) эксперименте значения аргумента за­ранее не выбирают, а измеряют те значения x _i, которые заданы каким-либо образом или произвольно выбраны из числа возможных. При тех же зна­чениях x _i измеряют также соответствующие величины y _i.

Во многих случаях активный эксперимент является предпочтитель­ным, поскольку за счет рационального выбора значений x _i можно полу­чить более точные оценки зависимости, а для обработки можно приме­нять бо­лее широкий класс оценок. Однако на практике это не всегда мож­но реа­лизовать.

Искомая математическая модель функциональной зависимости может быть найдена лишь в результате совместной об­работки всех полученных значений x и y. На рис. 33.1 это кривая, проходящая по центру полосы экспериментальных точек, ко­торые могут и не лежать на искомой кривой , а зани­мать некоторую полосу вокруг нее. Эти отклонения вызваны рядом при­чин (погрешностями измерений, неполнотой модели и учитываемых фак­торов, случайным характером самих исследуемых процессов).

Рис. 33.1.. Результаты однофакторного эксперимента

 

Разделить погрешности, вызванные неточностью измерений x и не­точностью измерений y, невозможно, так как смещение точки, напри­мер выше кривой, могло быть вызвано как положительной погреш­ностью при измерении y, так и отрицательной погрешностью при изме­рении x. Поэтому описанием погрешности исходных данных может быть лишь указание ширины полосы их разброса вокруг найден­ной кривой зависимости . При этом полоса разброса эксперимен­тальных данных не обязательно будет иметь постоянную ши­рину по всей своей длине. Она может быть узкой в начале и расширяться в конце или, например, иметь узкий перешеек в средней части и расши­ряться по кон­цам и т. д. Поэтому вопрос о форме полосы погрешностей должен анали­зироваться в каждом отдельном случае.

Искомая зависимость , которая строится по набору экспери­ментальных данных , может быть представлена в раз­личном виде: аналитически (формулой), графически или в виде табли­цы. Выбор способа представления зависит от функционального вида и слож­ности зависимости, а также от способа ее дальнейшего использова­ния на практике. Обычно предпочитают задавать ее в аналитическом виде фор­мулой, поскольку такая форма представления наиболее компакт­на и поз­воляет решать широкий круг практических задач. Однако в тех случаях, когда зависимость нельзя достаточно точно аппроксимировать простой функцией или аналитическое построение оказывается слишком трудоем­ким, приходится задавать ее с помощью графика или таблицы.

Способ задания зависимости определяет обработку данных при ее по­строении. Если зависимость задается таблицей , то при ее составлении лишь выполняют обработку результатов наблюде­ний , в каждой точке порознь согласно обычным правилам обработки данных при прямых или косвенных измерениях.

Если зависимость задается аналитически, то в дополнение к этому необ­ходима обработка всего набора данных в целом. При этом задается опре­деленный функциональный вид зависимости и вычисляют оценки ее пара­метров.

Для графического способа задания зависимости возможны два варианта, близкие к одному из упомянутых выше случаев. Если график строится по­точечно (без сглаживания), то выполняется лишь обработка данных в каждой из точек. В промежутках между ними зависимость определяется, например, путем интерполяции. Если график строится со сглаживанием, ориентируясь на определенный функциональный вид зависимости, то об­работка выполняется, как и при аналитическом представлении.

 

33.2. Некоторые определения

 

Когда вы имеете дело с выборкой экспериментальных данных, то они, чаще всего, представляются в виде массива, состоящего из пар чисел . Поэтому возникает задача аппроксимации дискретной зависи­мости непрерывной функцией . Функция , в зависимо­сти от специфики задачи, может отвечать различным требованиям:

1. должна проходить через точки , т.е. . В этом случае говорят об интерполяции дан­ных функцией во внутренних точках между , или экстраполяции за пределами интервала, содержа­щего все .

2. должна некоторым образом (например, в виде определенной анали­тической зависимости) приближать , не обязательно проходя через точки . Такова постановка задачи ре­грессии, которую во многих случаях также можно назвать сглаживанием данных.

3. должна приближать экспериментальную зависимость , учи­тывая, к тому же, что данные получены с некоторой по­грешностью, выражающей шумовую компоненту измерений. При этом функция , с помощью того или иного алгоритма, уменьша­ет погрешность, присутствующую в данных . Такого рода задачи называют задачами фильтрации. Сглажива­ние - частный случай фильтрации.

 

Рис. 33.2. Различные типы аппроксимации экспериментальных данных

 

Различные виды построения аппроксимирующей зависимости ил­люстрирует рисунок 33.2. На нем показаны исходные данные, ин­терполяция отрезками прямых линий, линейная регрессия и фильтрация. Эти зависимости приведены в качестве примера и отражают лишь малую часть возможных вариантов обработки.

 

Интерполяция

 

Пусть задан дискретный набор точек , называемых узлами интерполяции, причем среди этих точек нет совпадающих, а так же значения функции в этих точках. Требуется построить функцию , проходящую через все заданные узлы. Таким образом, критерием близости функции является . Такой способ введения функции называют лагранжевой интерполяцией, а условия - условиями Лагранжа.

В качестве функции обычно выбирают полином, который называется интерполяционным полиномом. В том случае, когда полином един для всей области интерполяции, говорят, что интерполяция глобальная. В тех случаях, когда между различными узлами полиномы различны, говорят о кусочной или локальной интерполяции. Найдя интерполяционный полином, мы можем вычислить значения функции между узлами.

 

Глобальная интерполяция

 

При глобальной интерполяции ищется единый полином для всего интервала. Если среди узлов нет совпадающих, то такой полином будет единственным, и его степень не будет превышать .

Запишем систему уравнений для определения коэффициентов полинома:

 

(33.1)

 

Определим матрицу коэффициентов системы уравнений А:

 

(33.2)

 

и вектор-столбец свободных членов b

 

(33.3)

 

Система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных будет иметь решение, если определитель системы (определитель матрицы А) отличен от нуля. Определитель матрицы А, известный в алгебре как определитель Вандермонда, имеет аналитическое выражение

 

(33.4)

 

Из этого выражения видно, что , если среди узлов нет совпадающих.

Решение системы уравнений представляет собой самостоятельную и достаточно трудоемкую задачу. Но использование математических пакетов, в частности - MathCAD, позволяет решать ее удивительно легко и изящно. Достаточно просто записать решение в матричном виде (рис. 33.3).

С увеличением количества узлов возрастает и степень интерполяционного полинома, что приводит к резкому увеличению погрешности в результате возникновения так называемого явления волнистости. Кроме того, для целого ряда функций глобальная интерполяция полиномом вообще не дает удовлетворительного результата.

 

 

Рис. 33.3. Решение задачи интерполяции полиномом в MathCAD

 

Для того чтобы избежать высокой степени полинома отрезок интерполяции разбивают на несколько частей и на каждом частичном интервале строят самостоятельный полином невысокой степени. Далее мы рассмотрим наиболее часто используемые виды интервальной интерполяции, а также способы их реализации в MathCAD

 

Локальная интерполяция