Запись и округление результата измерения

 

Погрешность результата рассчитывается по случайной выборке, и сама содержит погрешность. Новое измерение (новая выборка) даст новую погрешность, отличную от первой. Можно считать, что объективную информацию о величине погрешности несут лишь одна - две значащие цифры в её численном выражении. Остальные значащие цифры можно считать случайными. Результат измерения также содержит лишь ограниченное число значащих цифр, несущих информацию о величине этого результата. В связи с этим численные значения результата и погрешности должны быть округлены. При округлении используют следующие правила:

1. Предварительно результат и погрешность записывают в нормальном виде: общий показатель степени выносят за скобку или заменяют соответствующей приставкой: микро, милли, кило, мега и др. Например,

 

. (31.41)

 

Запрещены записи вида или . Показатель 10¹ не выносится.

2. Если результат будет в дальнейшем использован в вычислениях, то во избежание накопления погрешностей за счет округлений погрешность округляют до двух значащих цифр при любой первой. При промежуточных вычислениях величин и (из которых впоследствии будет извлекаться квадратный корень для нахождения и ) следует сохранять не менее четырех значащих цифр.

3. Если результат измерения является окончательным и не будет использован в вычислениях других величин, то доверительную погрешность округляют до первой значащей цифры, если она равна или больше 2, или до двух значащих цифр, если первая равна 1.

4. Среднее значение округляют до того разряда, которым оканчивается округленная погрешность . Если погрешность округляется до двух значащих цифр, но вторая из них равна нулю, то этот нуль сохраняется, а в соответствующем этому нулю разряде результата записывается получающаяся там значащая цифра: = 3.48 0.10.

 

Ошибки косвенных измерений

 

В большинстве экспериментов интересующая нас величина непосредственно не измеряется. Вместо этого мы измеряем некоторые другие величины и т.д., а затем вычисляем величину , которая является известной функцией первичных величин.

Например, измерить плотность некоторого материала можно, измеряя массу прямоугольного бруска и его размеры . Функциональная связь между искомой величиной и первичными величинами имеет вид:

 

. (32.1)

 

Допустим, что каждая величина измеряется несколько раз. В таком случае, для величины мы найдем наилучшее значение , т.е. среднее из измеренных значений, и оценку его среднеквадратической ошибки . Аналогичным образом найдем и и т.д. Предположим, что измерения первичных величин независимы и поэтому их ошибки также независимы.

Зная величины , и т.д., можно вычислить наилучшее значение величины . Задача заключается в том, чтобы, зная среднеквадратичные ошибки , и т.д., вычислить среднеквадратичную ошибку величины .

 

Рис. 32.1. Ошибка в величине , обусловленная ошибкой в величине

 

Функция одной переменной

 

Рассмотрим сначала случай, когда - функция только одной величины , например или . В общем случае запишем это так:

 

(32.2)

 

(Здесь -и наименование первичной величины и ее значение).

Если истинное значение первичной величины есть , то истинное значение величины есть

 

. (32.3)

 

Ошибка данного значения равна

 

(32.4)

 

и ей соответствует ошибка в величине , равная:

 

. (32.5)

 

Производная взята в точке . Знак приближенного равенства связан с предположением, что ошибка достаточно мала и, в интервале измеренных значений , функцию можно представить прямой линией.

Таким образом, ошибка в величине пропорциональна ошибке в величине , причем коэффициент пропорциональности равен

 

. (32.6)

 

Теперь допустим, что величина изменяется в соответствии со своим распределением относительно , и возьмем среднее квадратичное от обеих частей равенства (32.5). Мы получим

 

. (32.7)

 

Отметим один важный случай, когда , так что . В этом случае

 

, (32.8)

 

т.е. относительная среднеквадратичная ошибка в величине в раз больше относительной среднеквадратичной ошибки в величине .