Нормальное или гауссово распределение

 

Одним из часто встречающихся на практике распределений является нормальный или гауссовский закон. Ему подчиняются физические величины, случайность которых обусловлена действием множества независимых (или слабо зависимых) малых аддитивных факторов, результат воздействия каждого из которых мал по сравнению с их суммарным воздействием. Плотность распределения вероятности нормального закона имеет вид

 

, (31.7)

 

где - случайное значение величины. Параметр определяет центр распределения, а форму и ширину кривой плотности распределения, что показано на рис. 31.5. Множитель перед экспонентой, определяющий высоту гауссовской кривой, выбран таким образом, чтобы было выполнено условие нормировки.

Поскольку гауссово распределение симметрично относительно , вероятность того, что случайное значение величины, распределенной по нормальному закону, попадет в заданный интервал (), будет равна

 

. (31.8)

 

Вводя , называемую стандартизованной переменной, можно записать

 

, (31.9)

 

Рис. 31.5. Нормальное распределение

 

где - коэффициенты, определяющие ширину интервала в единицах параметра нормального распределения : . Вероятности попадания в интервал () можно найти, вычислив интеграл численно для различных значений ширины интервала . И наоборот, каждой заранее заданной вероятности будет соответствовать свое конкретное значение коэффициента , зависящее от выбора доверительной вероятности . Если значения коэффициентов найдены, то от переменной можно вернуться к переменной . Тогда из неравенства получим с вероятностью .

Можно показать, что если значения распределены по нормальному закону, то и рассчитываемые по ним средние значения также распределены по нормальному закону с центром в точке и шириной распределения , где - объем выборок, по которым рассчитываются . Распределение средних будет описываться формулой, в которой заменено на , а на .

Если средние значения распределены по нормальному закону, то задача нахождения доверительного интервала сводится к нахождению доверительного интервала () для стандартизованной переменной и переходу к доверительному интервалу переменной . В результате получим, что границы интервала, в который случайное значение попадает с вероятностью , определяется неравенством

 

. (31.10)

 

Откуда для границ доверительного интервала получаем

 

, (31.11)

 

где - коэффициенты, соответствующие заданной вероятности .

Это неравенство принято записывать в виде символического равенства

 

, (31.12)

 

где - случайная доверительная погрешность результата измерения.